Tarkibga o'tish

Translation update pending

The Uzbek (Latin) translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Yuqori samarali element formulatsiyalari

3D hajmiy elementlar formulatsiyasi da berilgan standart ko‘chishga asoslangan formulatsiya deyarli siqilmaydigan materiallarda yoki egilish ustun bo‘lgan yupqa devorli konstruksiyalarda qo‘llanganda locking (hajmiy locking yoki siljish locking) deb ataluvchi ortiqcha sun’iy qattiqlikni keltirib chiqarishi mumkin. Buni oldini olish uchun FrontISTR B matritsa yoki deformatsiya gradientining faqat hajmiy qismini almashtiruvchi B-bar va F-bar usullarini, ichki erkinlik darajalariga ega nomos elementlarni, bosimni mustaqil noma’lum maydon sifatida ko‘radigan u-p aralash elementlarni hamda plastina va balka konstruksiyalariga mo‘ljallangan MITC qobiq va balka elementlarini taqdim etadi.

Ushbu bob ilg‘or element va strukturaviy element formulatsiyalarini element turlari bo‘yicha umumlashtiradi.

B-bar usuli

8 tugunli chiziqli geksaedr element deyarli siqilmaydigan material uchun ishlatilganda, bitta element ichidagi nisbiy deformatsiya maydoni hajmni saqlash cheklovi bilan ziddiyatga kirishib, hajmiy locking deb ataluvchi ortiqcha qattiqlikni yuzaga keltirishi mumkin. B-bar usuli B matritsaning hajmiy kengayishga hissa qo‘shuvchi komponentlarini element markazida baholangan qiymatlar bilan almashtirish orqali ushbu ortiqcha cheklovni yumshatadi [Hughes1980].

Element markazida \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) shakl funksiyalarining fazoviy hosilalaridan hisoblangan B matritsa \(\bar{\boldsymbol{B}}\), integrallash nuqtasi \(\boldsymbol{r}\) dagi oddiy B matritsa esa \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) bo‘lsin. \(\alpha\) tugun va \(i\) erkinlik darajasi uchun ko‘chish–nisbiy deformatsiya munosabatida hajmiy nisbiy deformatsiya komponentlari \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ga

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

qo‘shiladi. Siljish komponentlari \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) uchun oddiy \(\boldsymbol{B}\) ishlatiladi. Element qattiqligi va ichki kuch vektori hosil bo‘lgan B-bar matritsa yordamida yig‘iladi.

FrontISTR bu formulatsiyani aynan 8 tugunli chiziqli geksaedr element uchun (element ID 361; Element raqamlash tizimi ga qarang) taqdim etadi; u kichik deformatsiya, Total Lagrange va Updated Lagrange formulatsiyalariga qo‘llanadi.

F-bar usuli

Chekli deformatsiyada hajmiy o‘zgarish deformatsiya gradienti \(\boldsymbol{F}\) orqali nochiziqli kiradi. F-bar usuli [deSouzaNeto1996] B-bar ga o‘xshash hajmiy lockingga qarshi tuzatishni deformatsiya gradienti darajasida bajaradi.

Element markazi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) da baholangan deformatsiya gradientining hajm nisbati \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), integrallash nuqtasidagi nisbat esa \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) bo‘lsin. Integrallash nuqtasidagi deformatsiya gradienti

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

bilan almashtiriladi. Shunda \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) bo‘lib, element bo‘ylab hajm nisbati element markazidagi qiymatga moslashtiriladi. Almashtirilgan \(\bar{\boldsymbol{F}}\) kuchlanishni baholash va nisbiy deformatsiya–ko‘chish matritsasini tuzishda ishlatiladi; element urinma qattiqligi ushbu almashtirish bilan bog‘liq qo‘shimcha hadlarni ham o‘z ichiga oladi.

FrontISTR F-bar usulini aynan 8 tugunli chiziqli geksaedr element uchun amalga oshiradi; u kichik deformatsiya hamda Total Lagrange / Updated Lagrange nochiziqli geometriyasiga qo‘llanadi.

Nomos elementlar

8 tugunli chiziqli geksaedr element egilish uchun zarur nisbiy deformatsiya rejimlariga yetarlicha ega emas va egilish ustun masalalarda egilish locking ko‘rsatadi. Nomos elementlar [Taylor1976] bu kamchilikni qoplash uchun element ichiga qo‘shimcha ko‘chish rejimlarini kiritadi.

Element tugun ko‘chishlari \(\boldsymbol{u}^e\) ga qo‘shimcha ravishda faqat element ichida mavjud bo‘lgan, har bir element uchun 3 yo‘nalish × 3 rejimdan iborat nomos rejim erkinlik darajalari \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) kiritiladi va ko‘chish maydoni

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ko‘rinishida yaqinlashtiriladi. Tabiiy koordinatalar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) uchun nomos shakl funksiyalari \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) deb olinadi. Ular element chegaralari bo‘ylab uzluksizlikni kafolatlamaydi, ammo egilish rejimlariga mos nisbiy deformatsiyalarni ifodalovchi ichki fazoni qo‘shadi.

Element qattiqligi avval tashqi DOF / ichki DOF blok ko‘rinishida yig‘iladi:

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

So‘ng statik kondensatsiya \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) orqali ichki DOF larni yo‘qotib, faqat tashqi DOF lar uchun

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

element qattiqligini beradi va bu global yig‘ishga uzatiladi.

FrontISTR nomos elementni aynan 8 tugunli chiziqli geksaedr element (C3D8IC) uchun amalga oshiradi va u kichik deformatsiya, Total Lagrange hamda Updated Lagrange formulatsiyalariga qo‘llanadi.

U-P aralash elementlar

B-bar va F-bar ko‘chishga asoslangan doira ichida hajmiy qismni tuzatsa, u-p aralash (U-P) element bosim \(\lambda\) ni ko‘chishdan mustaqil noma’lum maydon sifatida kirituvchi aralash formulatsiyadan [Bathe1996] foydalanadi. Puasson koeffitsiyenti 0.5 ga juda yaqin rezinasimon materiallar yoki plastik deformatsiyadan keyingi metallar kabi deyarli siqilmaydigan materiallarda faqat ko‘chish maydoni bilan hajmni saqlash cheklovini bajarish hajmiy locking keltirib chiqaradi; bosimni mustaqil o‘zgaruvchi qilish bu cheklovni yumshatadi.

Kuchlanish deviator va bosim qismlariga ajratiladi:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Bu yerda \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) — elastiklik matritsasidan bulk modul \(K\) ga proporsional hajmiy qism olib tashlangan deviator elastiklik matritsasi. Bosim \(\lambda\) va hajmiy nisbiy deformatsiya \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) siqiluvchanlik \(\alpha^{-1} = 1/K\) orqali cheklov bilan bog‘lanadi:

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Ko‘chish \(\boldsymbol{u}\) va bosim \(\lambda\) noma’lumlar sifatida diskretlanganda elementning bog‘langan tizimi

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

olinadi. Bu yerda \(\mathbf{K}_{uu}\) deviator elastik hissa va chekli deformatsiyada geometrik qattiqlikni, \(\mathbf{K}_{up}\) hajmiy nisbiy deformatsiya–bosim bog‘lanishini, \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) esa bosim stabilizatsiyasi hadini o‘z ichiga oladi (\(\boldsymbol{N}_p\) — bosim shakl funksiyasi). Bosim erkinlik darajalari element ichki DOF lari bo‘lgani uchun

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ko‘rinishida statik kondensatsiya qilinadi va faqat tashqi (ko‘chish) DOF larni o‘z ichiga olgan samarali qattiqlik global yig‘ishga uzatiladi.

FrontISTR U-P elementni aynan 8 tugunli chiziqli geksaedr element uchun, har bir elementga bitta bosim erkinlik darajasi (element ichida o‘zgarmas) bilan amalga oshiradi. U kichik deformatsiya, Total Lagrange va Updated Lagrange formulatsiyalariga qo‘llanadi. Updated Lagrange da deviator kuchlanish obyektiv kuchlanish tezligi (Jaumann/Hughes-Winget turi) bilan yangilanadi va so‘ng statik kondensatsiyadan olingan qiymat bilan bosim \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) qo‘yiladi.

Qobiq elementlari

Reissner-Mindlin plastina/qobiq nazariyasiga asoslangan qobiq elementlari yupqa devorli plastina va qobiq konstruksiyalarida ishlatiladi. Qalinlik kamayganda past tartibli ko‘chishga asoslangan plastina/qobiq elementlari hajmiy lockingga o‘xshash mexanizm bilan ko‘ndalang siljish nisbiy deformatsiyasini ortiqcha baholaydi (siljish locking) va egilish rejimlari qattiqligini sun’iy ravishda oshiradi. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) usuli [Dvorkin1984] [Bathe1986] faqat siljish nisbiy deformatsiya komponentlarini elementdagi oldindan belgilangan bog‘lash nuqtalarida qayta namunalab, keyin shu qiymatlarni element bo‘ylab interpolatsiya qilish orqali muammoni bartaraf etadi.

MITC qobiq elementlarining tugunlari o‘rta sirt ustida joylashadi; har bir tugunda oltita DOF mavjud: uchta translatsiya va o‘rta sirt normal koordinata tizimi atrofidagi uchta aylanish. Element qattiqligi o‘rta sirt tabiiy koordinatalari va qalinlik yo‘nalishi bo‘yicha uch o‘lchamli Gauss integrallashi bilan baholanadi; qalinlik \(h\) konstitutiv hisobda element xossasi sifatida beriladi.

FrontISTR bitta o‘rta sirt qatlamida ifodalangan MITC3 (element ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), shuningdek qalinlik bo‘yicha ikki qatlamli tugunlarga ega MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 tugun, har tugunda 3 DOF) va MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 tugun, har tugunda 3 DOF) qatlamli qobiq elementlarini taqdim etadi. Qatlamli qobiq elementlarida tugun DOF lari faqat uch translatsiya komponentidan iborat, aylanish DOF lariga mos egilish rejimlari esa ikki qatlamli joylashuv orqali ifodalanadi.

Balka elementlari

To‘sin va ramalar kabi chiziqli konstruksiyalar balka elementlari bilan diskretlanadi. Balka elementlari kesim ichidagi deformatsiyani kesim doimiylari bilan ifodalaydi va balka o‘qidagi tugunlarning ko‘chishi hamda aylanishi yordamida cho‘zilish, egilish va buralishni tasvirlaydi.

Har bir balka tugunida oltita erkinlik darajasi mavjud: uchta translatsiya komponenti va uchta aylanish komponenti. Element qattiqligi element o‘qi va kesim ma’lumotlarida berilgan tayanch o‘q orqali aniqlangan mahalliy koordinata tizimida cho‘zilish, ikki yo‘nalishdagi egilish va buralish uchun yopiq ko‘rinishdagi qattiqlik matritsalarini tuzib, so‘ng ularni global koordinata tizimiga o‘zgartirish orqali olinadi. Kesim yuzi \(A\), mahalliy \(y\) va \(z\) o‘qlari atrofidagi yuza ikkinchi momentlari \(I_y\) va \(I_z\), hamda buralish doimiysi kesim ma’lumotlari sifatida beriladi; materialning Young moduli \(E\) va Young moduli hamda Puasson nisbatidan olinadigan siljish moduli \(G\) bilan birga ular tegishli qattiqlik koeffitsiyentlarini belgilaydi.

Egilish uchun ikki formulatsiya mavjud: deformatsiyadan keyin ham kesim balka o‘qiga perpendikulyar qoladi deb hisoblab, siljish deformatsiyasini e’tiborga olmaydigan Bernoulli-Euler balkasi va siljish deformatsiyasini hisobga oladigan Timoshenko balkasi. Ikki tugunli 611 balka elementi uchun ikkalasini ham tanlash mumkin; standart variant Bernoulli-Euler balkasidir. Timoshenko balkasi uchun element uzunligi \(L\) bo‘lganda, siljish deformatsiyasi hissasini ifodalovchi koeffitsiyentlar

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

tegishli egilish tekisliklarining qattiqlik koeffitsiyentlariga kiritiladi. Masalan, mahalliy \(y\) yo‘nalishidagi egilish uchun qattiqlik koeffitsiyenti \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) bo‘ladi. Bu yerda \(A_s\) — siljish yuzasi. FrontISTR kesim ma’lumotlarida \(A_s\) alohida berilmaydi, shuning uchun \(A_s = A\) ishlatiladi. Bu siljishni tuzatish koeffitsiyentini 1 deb olishga teng. \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) bo‘lsa Bernoulli-Euler balkasining qattiqligi olinadi.

641 aralash erkinlik darajalariga ega element bo‘lib, balkani ko‘chish erkinlik darajalariga ega ikki tugun va aylanish erkinlik darajalariga ega ikki tugun yordamida ifodalaydi va Bernoulli-Euler balkasi sifatida formulatsiyalangan.

Tegishli mavzular