Harakat, deformatsiya va nisbiy deformatsiya¶

Tayanch va joriy konfiguratsiyalar¶

Konfiguratsiyalarning ta’rifi¶

Fizik kattaliklarni vaqtning qaysi holatiga nisbatan tavsiflashni farqlash uchun ushbu qo‘llanmada ikki turdagi konfiguratsiya qo‘llanadi.

Tayanch konfiguratsiya (reference configuration): tahlil boshlanishidagi (vaqt \(0\)) deformatsiyalanmagan shakl; u boshlang‘ich konfiguratsiya deb ham ataladi. Tayanch konfiguratsiyadagi nuqta material koordinata \(\boldsymbol{X}\) bilan ifodalanadi, hajm \(V\), sirt esa \(S\) bilan belgilanadi.
Joriy konfiguratsiya (current configuration): \(t\) vaqtdagi deformatsiyalangan shakl. Joriy konfiguratsiyadagi nuqta fazoviy koordinata \(\boldsymbol{x}\) bilan ifodalanadi, hajm \(v\), sirt esa \(s\) bilan belgilanadi.

Harakat ushbu ikki konfiguratsiya orasidagi \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) akslantirish sifatida ifodalanadi, ko‘chish esa \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) deb aniqlanadi.

Konfiguratsiyaga bog‘liq belgilash qoidalari (katta/kichik harflar)¶

Fizik kattalik qaysi konfiguratsiyaga tegishli ekanligi belgi harfining kattaligi bilan farqlanadi.

Tayanch konfiguratsiyaga tegishli kattaliklar katta harflar bilan yoziladi (masalan, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Joriy konfiguratsiyaga tegishli kattaliklar kichik harflar bilan yoziladi (masalan, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Birinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{P}\) kabi ikkala konfiguratsiyani bog‘laydigan kattaliklar uchun an’anaviy belgilash ishlatiladi va zarur joyda matnda alohida ko‘rsatiladi.
Kichik deformatsiya nazariyasida ikki konfiguratsiya orasidagi farq yo‘qoladi, shu sababli faqat kichik harfli belgilar (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) ishlatiladi.

Tayanch va joriy konfiguratsiya gradientlari¶

Fazoviy hosila qaysi konfiguratsiyaga nisbatan olinayotganiga qarab belgilash va ma’no farqlanadi.

Tayanch konfiguratsiya gradienti \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): material koordinatalar bo‘yicha gradient. Masalan: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Joriy konfiguratsiya gradienti \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): fazoviy koordinatalar bo‘yicha gradient. Masalan: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Ular \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) munosabat bilan bog‘langan. Vaqt bo‘yicha hosila qoidalari (material vaqt hosilasi \(\dot{(\cdot)}\)) uchun Tenzor yozuvi va matematik asoslar ga qarang.

Harakat tavsifi¶

Harakat akslantirishi hamda material/fazoviy tavsiflar¶

Kontinuumni vaqt \(0\) dagi joylashuvi \(\boldsymbol{X}\) bilan belgilangan material nuqtalar to‘plami deb qarasak, harakat har bir \(\boldsymbol{X}\) material nuqtasiga uning \(t\) vaqtdagi \(\boldsymbol{x}\) holatini mos qo‘yuvchi \(\phi\) akslantirish orqali ifodalanadi:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Tayanch konfiguratsiyani boshlang‘ich konfiguratsiya deb olish qoidasi ostida \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) bo‘ladi.

Mustaqil o‘zgaruvchilarni tanlashga qarab ikki xil tavsif farqlanadi.

Material tavsif (Lagrange tavsifi): fizik kattaliklarni \((\boldsymbol{X}, t)\) ning funksiyasi sifatida ifodalaydi. Qattiq jismlar mexanikasida tayanch konfiguratsiya o‘zgarmas shakl sifatida berilgani uchun bu tabiiy tanlovdir.
Fazoviy tavsif (Euler tavsifi): fizik kattaliklarni \((\boldsymbol{x}, t)\) ning funksiyasi sifatida ifodalaydi. Bu suyuqliklar mexanikasida standart tavsif hisoblanadi.

FrontISTR dagi konstruktiv tahlil asosan material tavsifga tayanadi, biroq Updated Lagrange usulida joriy konfiguratsiya yangi tayanch konfiguratsiya sifatida ishlatilgani uchun fazoviy tavsifdagi kattaliklar ham qo‘llanadi.

Ko‘chish, tezlik va tezlanish¶

Oldingi bo‘limda aytilganidek, ko‘chish \(\boldsymbol{u}\) \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) orqali aniqlanadi. Uning kattaligiga hech qanday faraz qo‘yilmaydi, ya’ni chekli deformatsiya ham qamrab olinadi. Tezlik va tezlanish vektorlari material nuqtani o‘zgarmas deb olib, \(\boldsymbol{u}\) ning material vaqt hosilalari sifatida aniqlanadi:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Bu tenglamalar tezlik va tezlanishni aniqlaydi.

Deformatsiya gradienti va deformatsiya tenzorlari¶

Deformatsiya gradienti tenzori¶

Chekli deformatsiyali kontinuum mexanikasidagi asosiy kattalik deformatsiya gradienti tenzori \(\boldsymbol{F}\) dir. U tayanch konfiguratsiyadagi cheksiz kichik \(d\boldsymbol{X}\) chiziq elementini joriy konfiguratsiyadagi cheksiz kichik \(d\boldsymbol{x}\) chiziq elementiga o‘tkazuvchi chiziqli akslantirish bo‘lib, harakat akslantirishining material koordinatalar bo‘yicha gradienti sifatida aniqlanadi:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Shu tarzda aniqlanganda (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), deformatsiyalanmagan holatda \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) bo‘ladi. \(\boldsymbol{F}\) nisbiy deformatsiya va kuchlanishni aniqlashda hamda fizik kattaliklarni konfiguratsiyalar orasida o‘tkazishda keng qo‘llanadi.

Hajm nisbati¶

Tayanch konfiguratsiyadagi cheksiz kichik hajm \(dV\) bilan joriy konfiguratsiyadagi unga mos cheksiz kichik hajm \(dv\) ning nisbati hajm nisbati \(J\) deb ataladi:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kontinuumning qaytuvchanligi \(J > 0\) bo‘lishini talab qiladi. Massa saqlanishi \(\rho_0 = J\rho\) ko‘rinishida ifodalanadi.

O‘ng va chap Cauchy-Green deformatsiya tenzorlari¶

Deformatsiya gradienti \(\boldsymbol{F}\) qattiq jism aylanishini ham o‘z ichiga olgani sababli, deformatsiyaning o‘zini o‘lchash uchun qattiq jism aylanishidan tozalangan kattaliklardan foydalaniladi. O‘ng Cauchy-Green deformatsiya tenzori \(\boldsymbol{C}\) (tayanch konfiguratsiya) va chap Cauchy-Green deformatsiya tenzori \(\boldsymbol{b}\) (joriy konfiguratsiya) quyidagicha aniqlanadi:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Ikkalasi ham simmetrik tenzor bo‘lib, bir xil xos qiymatlarga (asosiy cho‘zilish nisbatlarining kvadratlariga) ega. Giperelastik nisbiy deformatsiya energiyasi funksiyalarining asosiy invariantlari shu tenzorlar orqali ifodalanadi.

Nisbiy deformatsiya tenzorlari¶

Green-Lagrange nisbiy deformatsiya tenzori¶

Tayanch konfiguratsiyaga nisbatan nisbiy deformatsiya o‘lchovi sifatida Green-Lagrange nisbiy deformatsiya tenzori \(\boldsymbol{E}\) quyidagicha aniqlanadi:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

U tayanch konfiguratsiyadagi cheksiz kichik vektorlar skalyar ko‘paytmasining o‘zgarishini ifodalovchi simmetrik tenzor bo‘lib, qattiq jism aylanishiga nisbatan invariant va deformatsiyalanmagan holatda \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) bo‘ladi. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) dan foydalanib, quyidagini olamiz:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Bu nisbiy deformatsiyani ko‘chish gradientining birinchi va ikkinchi tartibli hadlari yig‘indisi sifatida ifodalaydi; ikkinchi tartibli had geometrik nochiziqlilikni ifodalaydi. Total Lagrange usulida u \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ish-kon’yugat jufti sifatida ishlatiladi.

Almansi nisbiy deformatsiya tenzori¶

Joriy konfiguratsiyaga nisbatan nisbiy deformatsiya o‘lchovi sifatida Almansi nisbiy deformatsiya tenzori \(\boldsymbol{e}\) quyidagicha aniqlanadi:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

U Green-Lagrange nisbiy deformatsiyasi bilan \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (qayta akslantirish) munosabati orqali bog‘langan.

Kichik nisbiy deformatsiya tenzori¶

Ko‘chish gradienti kichik bo‘lganda (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange nisbiy deformatsiyasining ikkinchi tartibli hadi e’tiborga olinmaydi. Bu holda ikki konfiguratsiya orasidagi farq ham yo‘qoladi va gradient fazoviy koordinatalarda yozilgan kichik nisbiy deformatsiya tenzori \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ga keladi:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR chiziqli statik tahlil, modal tahlil, chastotaviy javob tahlili va chiziqli dinamik tahlilda ushbu nisbiy deformatsiya o‘lchovidan foydalanadi. Chekli deformatsiya tahlilida Total Lagrange usulida \(\boldsymbol{E}\), Updated Lagrange usulida esa joriy konfiguratsiyaga nisbatan deformatsiya tezligi tenzori \(\boldsymbol{D}\) ishlatiladi.