Tarkibga o'tish

Virtual ish prinsipi

Kuchlanish va saqlanish qonunlari da keltirilgan muvozanat tenglamasi va chegaraviy shartlar asosida kontinuum mexanikasidagi chegaraviy masalaning kuchsiz shakli bo‘lgan virtual ish prinsipi chiqariladi. Chekli elementlar usulida diskretlashtirish aynan shu kuchsiz shakldan boshlanadi. Ushbu bobda joriy konfiguratsiyadagi shakl (Cauchy kuchlanishi va Almansi nisbiy deformatsiyasining chiziqli qismi orqali ifodalanadi) hamda tayanch konfiguratsiyadagi shakl (ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi va Green-Lagrange nisbiy deformatsiyasi orqali ifodalanadi) keltiriladi, ularning ekvivalentligi ko‘rsatiladi va so‘ng kichik deformatsiya holiga o‘tish tekshiriladi.

Muvozanat tenglamasi va chegaraviy shartlar

Kontinuumga ta’sir etuvchi birlik massaga to‘g‘ri keladigan jism kuchini \(\boldsymbol{g}\) deb olib, joriy konfiguratsiyada \(\Omega\) sohani egallagan jismni qaraymiz. Chegara \(\Gamma\) ko‘chish \(\bar{\boldsymbol{u}}\) ga belgilangan geometrik chegara \(\Gamma_B\) va sirt kuchi \(\bar{\boldsymbol{t}}\) ga belgilangan mexanik chegara \(\Gamma_t\) ga ajratiladi; bunda \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) va \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Statik masalada Kuchlanish va saqlanish qonunlari da keltirilgan impuls saqlanish qonunidagi inersiya hadi tashlab yuborilib, muvozanat tenglamasi quyidagicha olinadi:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{da} \ \Omega \]

Chegaraviy shartlar quyidagicha:

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{da} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{da} \ \Gamma_B \]

Keyingi qismda virtual ish prinsipi muvozanat tenglamasi va \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) mexanik chegaraviy shartining kuchsiz shakli sifatida chiqariladi. \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) geometrik chegaraviy sharti test funksiyasini tanlash orqali hisobga olinadi.

Joriy konfiguratsiyadagi kuchsiz shakl

Kuchsiz shaklda noma’lum ko‘chish uchun joiz fazo va test funksiyalari fazosini mos ravishda quyidagicha aniqlaymiz:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{da} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{da} \ \Gamma_B \} \]

Bu yerda \(d\) — fazoviy o‘lcham, \(H^1(\Omega)\) — funksiyaning o‘zi va uning birinchi tartibli kuchsiz hosilalari kvadrat bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lgan Sobolev fazosi, \(\delta\) esa variatsiya belgisidir. Joriy konfiguratsiyadagi ifodada \(\Omega\) deformatsiyalangan konfiguratsiyani bildiradi; amaliy sonli yechimda u tayanch konfiguratsiyaga yoki ma’lum oraliq konfiguratsiyaga qayta akslantiriladi.

Muvozanat tenglamasini \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) vazn funksiyasiga ko‘paytirib, Gauss divergensiya teoremasi va mexanik chegaraviy shartni qo‘llasak, joriy konfiguratsiyadagi virtual ish prinsipi quyidagi ko‘rinishga keladi.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Bu yerda \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) — Almansi nisbiy deformatsiya tenzorining chiziqli qismi bo‘lib, quyidagicha aniqlanadi:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Uning variatsiyasi \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ga teng. Demak, \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ni topib, har bir \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) uchun virtual ish tenglamasi bajarilishini talab qilamiz. Chap tomon ichki kuchlarning virtual ishi, o‘ng tomon esa berilgan sirt kuchi va jism kuchidan hosil bo‘ladigan tashqi kuchlarning virtual ishidir.

Bu tenglama deformatsiyalangan, ya’ni joriy konfiguratsiyadagi sohada yozilgani sababli, amaliy yechimda boshlang‘ich konfiguratsiya \(\Omega_0\) (tayanch konfiguratsiya) yoki ma’lum oraliq konfiguratsiya qaytadan tayanch konfiguratsiya sifatida tanlanadi, tenglama inkremental shaklga keltiriladi va shundan so‘ng yechiladi. Tayanch konfiguratsiyani aniq tanlash (Total Lagrange / Updated Lagrange) va inkremental ajratish uchun Inkremental tahlil doirasi ga qarang.

Boshlang‘ich konfiguratsiyadagi kuchsiz shakl

Tayanch konfiguratsiyada \(\Omega_0\) sohani egallagan jismni qaraymiz va uning \(\Gamma_0\) chegarasini \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) ga ajratamiz. Joriy konfiguratsiyadagi ifodani tayanch konfiguratsiyaga qayta akslantirganda, kuchlanish–nisbiy deformatsiya kon’yugat jufti ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange nisbiy deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\) dan iborat bo‘ladi. Shunda boshlang‘ich konfiguratsiyadagi virtual ish prinsipi

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Bu yerda \(\rho_0\) — tayanch konfiguratsiyadagi massa zichligi; massa saqlanish munosabati \(\rho_0 = J\rho\) tufayli bu ifoda joriy konfiguratsiyadagi jism kuchi ifodasiga ekvivalentdir.

Joriy va boshlang‘ich konfiguratsiyalardagi ifodalarning ekvivalentligi

Ikki ifodadagi ichki kuchlarning virtual ishi deformatsiya gradienti \(\boldsymbol{F}\) va hajm nisbati \(J = \det \boldsymbol{F}\) orqali o‘tkazish natijasida bir-biriga teng bo‘ladi, ya’ni

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Tashqi kuch hadlari ham massa saqlanishi va sirt kuchini o‘zgartirish orqali ekvivalentdir. Shunday qilib, joriy konfiguratsiyadagi virtual ish tenglamasi va boshlang‘ich konfiguratsiyadagi virtual ish tenglamasi bir xil prinsipning turli konfiguratsiyalardagi ifodalaridir. Tayanch konfiguratsiyaga tayanadigan yechim usuli Total Lagrange usuliga, joriy konfiguratsiyaga (bevosita oldingi konvergent konfiguratsiyaga) tayanadigan yechim usuli esa Updated Lagrange usuliga mos keladi.

Kichik deformatsiya holiga o‘tish

Kichik deformatsiya farazlari \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) va \(J \approx 1\) ostida joriy va tayanch konfiguratsiyalar orasidagi farq yo‘qoladi, ikkinchi PK kuchlanishi Cauchy kuchlanishiga tenglashadi (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), Green-Lagrange nisbiy deformatsiyasi va Almansi nisbiy deformatsiyasining chiziqli qismi esa ikkalasi ham kichik nisbiy deformatsiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ga keladi.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Shunda virtual ish prinsipi Cauchy kuchlanishi \(\boldsymbol{\sigma}\) va kichik nisbiy deformatsiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\) orqali ifodalangan quyidagi kuchsiz shaklga keladi:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{da} \ \Gamma_B \]

Bu kichik deformatsiyali chiziqli elastik statik tahlilda diskretlashtirish uchun bevosita ishlatiladigan kuchsiz shakldir (Chiziqli elastik statik tahlil (kirish va ilova) ushbu shakldan boshlanib, element qattiqligi \(\boldsymbol{K}^e\) ni tuzishdan global tenglama \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) ni yig‘ishgacha bo‘lgan jarayonni ko‘rsatadi).

Chiziqli elastik konstitutiv qonun \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ni qo‘yib va Voigt yozuvi da \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) deb yozsak, kuchsiz shakl

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ko‘rinishni oladi.

Tegishli mavzular