Tarkibga o'tish

Tenzor belgilanishi va matematik asoslar

Ushbu bobda FrontISTR nazariya qo‘llanmasining keyingi boblarida ishlatiladigan tenzor, indeks va Voigt belgilanishlari qoidalari jamlanadi. Bu yerda fizik miqdorlar ta’rifiga bog‘liq bo‘lmagan faqat sof belgilash qoidalari bayon qilinadi. Kontinuum harakati bilan bog‘liq konfiguratsiyaga (referens/joriy konfiguratsiya) bog‘liq belgilash qoidalari — katta-kichik harflardan foydalanish va moddiy hamda fazoviy hosilalarni farqlash — konfiguratsiya tushunchasi kiritiladigan Harakat, deformatsiya va nisbiy deformatsiya bo‘limida berilgan.

Tenzor belgilanishi

Vektor va tenzorlarni qalin shrift bilan belgilash

Tipografik qoida sifatida skalyar miqdorlar hamda vektor va tenzorlarning komponentlari oddiy shriftda (masalan, \(\rho\), \(x_i\)), vektor va tenzor miqdorlarining o‘zi esa qalin shriftda (masalan, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)) yoziladi.

Einstein yig‘indi qoidasi

Alohida ko‘rsatilmagan bo‘lsa, bir xil indeks bir had ichida ikki marta uchraganda shu indeks bo‘yicha yig‘indi olinadigan Einstein yig‘indi qoidasi qo‘llanadi. Masalan,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

va \(\boldsymbol{A}\) hamda \(\boldsymbol{B}\) tenzorlarining \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ko‘paytmasidagi \(i,j\) komponenti

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

bo‘ladi. Indeks qoidasi sifatida, alohida izoh bo‘lmasa, \(i, j, k, l, \ldots\) erkinlik darajalariga oid indekslarni (3D da \(1, 2, 3\)), kichik yunon harflari \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) esa elementni tashkil etuvchi tugunlarga oid indekslarni bildiradi.

Ichki ko‘paytma, transpozitsiya va tenzor ko‘paytma

\(\boldsymbol{A}\) tenzorining transpozitsiyasi \(\boldsymbol{A}^T\) bilan belgilanadi. Ikkinchi tartibli \(\boldsymbol{A}\) va \(\boldsymbol{B}\) tenzorlarining ichki ko‘paytmasi (ikki karra qisqartirish)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

deb yoziladi. \(\boldsymbol{a}\) va \(\boldsymbol{b}\) vektorlarining ichki ko‘paytmasi \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), tenzor ko‘paytmasi esa \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) dir.

Voigt belgilanishi

Kuchlanish va nisbiy deformatsiya erkinlik darajalariga oid simmetrik ikkinchi tartibli tenzorlar bo‘lib, ular orasidagi chiziqli munosabat koeffitsiyenti to‘rtinchi tartibli tenzorni hosil qiladi. Buni dasturda bevosita ishlatish hisoblash xarajati va kodlash (ko‘p o‘lchamli massivlar, chuqur ichma-ich sikllar) nuqtai nazaridan noqulay. Shu sababli odatiy chekli element dasturlarida simmetriyadan foydalanib kuchlanish va nisbiy deformatsiya ustun vektorlarga, to‘rtinchi tartibli elastiklik tenzori esa ikki o‘lchamli matritsaga siqiladi. Bu Voigt belgilanishi deb ataladi.

Bundan keyin \(\boldsymbol{A}\) tenzor miqdorining matritsa yoki vektor ko‘rinishi \(\hat{A}\) bilan belgilanib, asl tenzordan farqlanadi.

Kuchlanish va nisbiy deformatsiyaning vektor ko‘rinishi

Simmetrik kuchlanish tenzori \(\boldsymbol{\sigma}\) va nisbiy deformatsiya tenzori \(\boldsymbol{\varepsilon}\) uchun ikki o‘lchamli holatda

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

uch o‘lchamli holatda esa

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

yuqoridagidek ustun vektor sifatida ishlatiladi. Variatsiya va differensial kabi hosila miqdorlarga ham ayni qoida qo‘llanadi. Nisbiy deformatsiya tomonidagi siljish komponentlariga 2 koeffitsiyenti qo‘shilishiga e’tibor bering (kuchlanish tomonida u yo‘q). Ushbu assimetriya sabab tenzor ichki ko‘paytmasi vektor ichki ko‘paytmasi sifatida

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ko‘rinishida ixcham yoziladi. Amalga oshirishda siljish nisbiy deformatsiya komponentlaridagi 2 koeffitsiyentini chalkashtirish oson, shu sababli “kuchlanishda yo‘q / deformatsiyada bor” qoidasi doimo yodda tutilishi kerak. Referens konfiguratsiyadagi miqdorlarga (ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\)) ham aynan shu Voigt qoidasi qo‘llanadi.

To‘rtinchi tartibli tenzorning matritsa ko‘rinishi

Kuchlanish va nisbiy deformatsiya orasidagi \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) chiziqli munosabatida (komponentlarda \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), \(\boldsymbol{\varepsilon}\) simmetriyasidan foydalansak

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

deb qayta yozish mumkin. 3D holatda \(\tilde{C}\) ni 6×6 material matritsasi \(\hat{\tilde{C}}\) ko‘rinishida joylashtirsak, asl tenzor munosabati

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ko‘rinishida ifodalanadi. Bundan keyin ushbu qo‘llanmada alohida ko‘rsatilmagan bo‘lsa material matritsasi \(D\) (yoki \(\hat{C}\)) bilan belgilanadi. Izotrop chiziqli elastiklikdagi aniq komponentlar uchun Chiziqli elastiklik ga qarang.

Differensial operatorlar qoidalari

Simmetrik gradient operatori

\(\boldsymbol{u}\) vektor maydoni uchun simmetrik gradient operatori \(\nabla_S\) quyidagicha aniqlanadi:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponent ko‘rinishida \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Kichik deformatsiyalar uchun nisbiy deformatsiya \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ushbu operator bilan ixcham ifodalanadi. Chekli deformatsiyada gradient olinadigan konfiguratsiyani (referens/joriy) tanlash Harakat, deformatsiya va nisbiy deformatsiya da ko‘rib chiqiladi.

Moddiy vaqt hosilasi

\(A\) miqdorning moddiy vaqt hosilasi (bir xil moddiy nuqtani kuzatib olinadigan vaqt hosilasi) yuqori nuqta bilan \(\dot{A}\) tarzida belgilanadi:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Tezlik va tezlanish shu qoidaga amal qiladi.

Tegishli mavzular