Modal tahlil¶

Umumlashtirilgan xos qiymatlar masalasi¶

Kontinuumning erkin tebranishi tahlil qilinganda fazoviy diskretlashtirish bajariladi va tizim 2.3.1-rasmda ko‘rsatilganidek, jamlangan massali ko‘p erkinlik darajali tizim sifatida modellashtiriladi. So‘nishsiz erkin tebranish masalasi uchun boshqaruvchi tenglama (harakat tenglamasi) quyidagicha.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Bu yerda $u$ umumlashtirilgan ko‘chish vektori, $M$ massa matritsasi, $K$ esa qattiqlik matritsasidir. $\omega$ xos burchak chastota, $a$ va $b$ bir vaqtda nol bo‘lmagan ixtiyoriy o‘zgarmaslar, $x$ esa vektor bo‘lsin; funksiyani

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

aniqlaymiz. Ushbu funksiyaning ikkinchi hosilasi

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

$\eqref{eq:2.3.2}$ va $\eqref{eq:2.3.3}$ tenglamalarni $\eqref{eq:2.3.1}$ tenglamaga qo‘ysak,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

quyidagi ifoda olinadi.

Notrivial tebranish uchun $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ aynan nol emas; shuning uchun,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

olinadi. Demak, $\lambda=\omega^2$ deb olsak,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

olinadi.

$\lambda$ koeffitsiyenti xos qiymat, $x$ vektori xos vektor deb ataladi; $\eqref{eq:2.3.5}$ tenglama bilan ifodalangan masala umumlashtirilgan xos qiymatlar masalasi deb ataladi.

$\lambda=\omega^2$ xos qiymatdan $\omega$ xos burchak chastota olinadi, unga mos $x$ xos vektor esa tebranish modasini ifodalaydi.

So‘nishsiz erkin tebranish uchun ko‘p erkinlik darajali tizim misoli

2.3.1-rasm　So‘nishsiz erkin tebranish uchun ko‘p erkinlik darajali tizim misoli

Matritsa xossalari va farazlar¶

Oldingi bo‘limda olingan $Kx=\lambda Mx$ umumlashtirilgan xos qiymatlar masalasi uchun ushbu qo‘llanmada tegishli matritsalarning simmetrikligi faraz qilinadi. Kompleks matritsalar uchun bu Ermit matritsasiga, haqiqiy matritsalar uchun esa simmetrik matritsaga mos keladi.

$K$ matritsasining $ij$ elementi $k_{ij}$ bo‘lsa, Ermit xossasi

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ko‘rinishida ifodalanadi. Bu yerda $\bar{k}_{ji}$, $k_{ji}$ ning kompleks qo‘shmasidir. Haqiqiy matritsalar uchun bu munosabat $k_{ij}=k_{ji}$ bo‘ladi.

Bundan tashqari, haqiqiy simmetrik $H$ matritsa noldan farqli har qanday $x$ vektor uchun

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

tengsizlik bajarilsa, musbat aniqlangan deyiladi. Bu holda $H$ ning barcha xos qiymatlari musbat bo‘ladi.

Konstruksiyaning xos qiymatlar masalasida $M$ massa matritsasi odatda musbat aniqlangan deb olinadi. Boshqa tomondan, $K$ qattiqlik matritsasi cheklovlarga qarab musbat yarim aniqlangan bo‘lishi va qattiq jism modalari bilan bog‘liq nol xos qiymatlarga ega bo‘lishi mumkin.

Siljitilgan teskari iteratsiya usuli¶

Chekli elementlar usulida konstruksiya tahlilida amalda barcha xos qiymatlar talab qilinmaydi; ko‘pincha bir nechta quyi tartibli xos qiymat yetarli bo‘ladi. HEC-MW katta masshtabli masalalar uchun mo‘ljallangan bo‘lib, bunday masalalarda matritsalar katta va juda siyrak, ya’ni nol elementlari ko‘p bo‘ladi. Shuning uchun bu xususiyatlarni hisobga olib, quyi tartibli modalarning xos qiymatlarini samarali hisoblash muhimdir.

Siljitish miqdori $\sigma$ bo‘lganda, $-\sigma$ xos qiymat bo‘lmasa va $K+\sigma M$ singulyar bo‘lmasa, $\eqref{eq:2.3.5}$ tenglamani quyidagicha o‘zgartirish mumkin.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Bu o‘zgartirish $x$ xos vektorni o‘zgartirmaydi va $\lambda$ xos qiymatni $1/(\lambda+\sigma)$ ga akslantiradi.

Shunday qilib, $\lambda$ $-\sigma$ ga qanchalik yaqin bo‘lsa, o‘zgartirilgan xos qiymatning mutlaq qiymati shunchalik katta bo‘ladi. Konstruksiyaning xos qiymatlar masalasida $\lambda \geq 0$ va $\sigma \geq 0$ bo‘lgani sababli, eng quyi xos qiymat mutlaq qiymati eng katta bo‘lgan xos qiymatga akslanadi. Ushbu xossadan foydalanib, mutlaq qiymati katta xos qiymatlarga avval yaqinlashadigan iteratsion usulni $\eqref{eq:2.3.8}$ tenglamaga qo‘llash orqali quyi tartibli xos qiymatlarni o‘sish tartibida samarali olish mumkin.

Bu usul siljitilgan teskari iteratsiya deb ataladi.

Cheklovli tahlillarda FrontISTR $\sigma = 0$ deb oladi va $\eqref{eq:2.3.8}$ tenglama $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, ya’ni siljitishsiz teskari iteratsiyaga aylanadi. Cheklovsiz free-free tahlilda $K$ qattiq jism modalari bilan bog‘liq nol xos qiymatlarga ega bo‘lgani uchun singulyar bo‘ladi; $\sigma$ ga musbat qiymat berish orqali $K+\sigma M$ singulyar bo‘lmagan holga keltiriladi. $\sigma$ qiymati !EIGEN tarkibidagi SIGMA bilan beriladi.

Lanczos usuli¶

Tanlash sababi (Jacobi usuli bilan taqqoslash)¶

Jacobi usuli yaxshi ma’lum bo‘lgan klassik usuldir.

Bu usul matritsa kichik va zich bo‘lganda samarali. Biroq HEC-MW ishlatadigan matritsalar katta va siyrak bo‘lgani uchun Jacobi usuli qo‘llanmaydi; uning o‘rniga Lanczos iteratsion usuli qo‘llanadi.

Algoritm va xususiyatlar¶

C. Lanczos tomonidan 1950-yillarda taklif qilingan bu usul matritsani uch diagonalli shaklga keltirish algoritmi bo‘lib, quyidagi xususiyatlarga ega.

Bu iteratsion usul bo‘lib, hisoblashni matritsani siyrak holatda saqlagan holda bajarish mumkin.
Amallar asosan matritsa-vektor ko‘paytmalaridan iborat bo‘lib, parallellashtirish uchun qulay.
Chekli elementlar to‘ri bilan bog‘liq geometrik soha dekompozitsiyasi uchun qulay.
Olinadigan xos qiymatlar sonini yoki modalar oralig‘ini cheklash orqali samarali hisoblash mumkin.

Lanczos usuli boshlang‘ich vektordan boshlanadi, ketma-ket ortogonal vektorlarni quradi va Krylov qism fazosi bazisini hosil qiladi.

Chekli aniqlikdagi arifmetikada yaxlitlash xatolari vektorlarning ortogonalligi yo‘qolishiga olib kelishi mumkin. Bu ta’sirni kamaytirish uchun FrontISTR implementatsiyasi har bir vektorni avval olingan Lanczos bazisiga nisbatan qayta ortogonallashtiradi.

Geometrik ma’nosi (Krylov qism fazosi)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ tenglamaga quyidagi o‘zgaruvchi almashtirishlarini qo‘llab,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

masalani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

yuqoridagi tenglama olinadi.

Noldan farqli ixtiyoriy $q_0$ vektor uchun,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ushbu vektorlar yoyadigan fazo

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov qism fazosi deb ataladi.

Lanczos usuli ushbu Krylov qism fazosi bazisini ketma-ket quradi.

FrontISTR $M$ massa matritsasi bilan bog‘liq quyidagi ichki ko‘paytmadan

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

bazisni ortonormallashtirish uchun foydalanadi. Quyidagi rasmlarda ko‘rsatilgan $\langle x,y\rangle$ ichki ko‘paytma va $\|x\|$ norma FrontISTR hisoblarida mos ravishda ushbu $M$-ichki ko‘paytma va unga mos $M$-norma

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

sifatida talqin qilinadi.

2.3.2-rasmda ko‘rsatilganidek, ixtiyoriy $q_0$ vektorga $A$ matritsasi bilan aniqlangan chiziqli almashtirishni qo‘llang.

$$A$ matritsasi orqali $q_0$ ning chiziqli almashtirilishi$

2.3.2-rasm　$A$ matritsasi orqali $q_0$ ning chiziqli almashtirilishi

Almashtirilgan vektor o‘zi va boshlang‘ich vektor yoygan fazoda ortogonallashtiriladi. Aniqrog‘i, 2.3.3-rasmda ko‘rsatilganidek Gram-Schmidt ortogonallashtirishi bajariladi. Olingan vektorni $r_1$ deb belgilab, uni normallashtirish orqali $q_1$ olinadi.

$$q_0$ ga ortogonal $q_1$ vektor$

2.3.3-rasm　$q_0$ ga ortogonal $q_1$ vektor

Xuddi shu amal bilan $q_1$ dan $q_2$ olinadi. Bu holda $q_2$ ham $q_1$ ga, ham $q_0$ ga ortogonaldir (2.3.4-rasm).

$$q_1$ va $q_0$ ga ortogonal $q_2$ vektor$

2.3.4-rasm　$q_1$ va $q_0$ ga ortogonal $q_2$ vektor

Shu tarzda Lanczos usuli Krylov qism fazosining ortonormal bazisini ketma-ket quradi. Nazariy jihatdan, xos qiymatlar masalasining simmetriyasidan foydalanib, bu iteratsiyani oxirgi bazis vektorlaridan foydalanadigan uch hadli rekurrent munosabat ko‘rinishida ifodalash mumkin.

Biroq FrontISTR implementatsiyasi chekli aniqlikdagi arifmetika sababli ortogonallik yo‘qolishini kamaytirish uchun har bir vektorni avval olingan Lanczos bazisiga nisbatan $M$-ichki ko‘paytma yordamida qayta ortogonallashtiradi.

Uch diagonallashtirish¶

FrontISTR ning Lanczos iteratsiyasida bazis vektorlari oldingi bo‘limda tavsiflangan $M$-ichki ko‘paytmaga nisbatan ortonormallashtirilgani sababli,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ushbu munosabat bajariladi.

$\eqref{eq:2.3.10}$ tenglamadagi $A$ matritsasidan foydalanilganda, nazariy Lanczos iteratsiyasi

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

yuqoridagi kabi ifodalanadi.

Avval $\alpha_i$ quyidagicha aniqlanadi:

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

va dastlabki qoldiq quyidagicha olinadi:

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

shu tarzda dastlabki qoldiq aniqlanadi.

Chekli aniqlikdagi arifmetika sababli ortogonallik yo‘qolishini kamaytirish uchun FrontISTR implementatsiyasi $\tilde{r}_{i+1}$ ni avval olingan Lanczos bazisiga nisbatan $M$-ichki ko‘paytma yordamida qayta ortogonallashtiradi. Qayta ortogonallashtirishdan keyingi qoldiq $r_{i+1}$ bo‘lsa,

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

quyidagi munosabatlar bajariladi.

Lanczos iteratsiyasi orqali olingan $m$ ta bazis vektorini quyidagicha jamlaymiz:

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Chekli sondagi Lanczos iteratsiyalaridan keyin,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

quyidagi munosabat bajariladi.

Bu yerda $e_m$ — $m$-komponenti 1, qolgan komponentlari nol bo‘lgan $m$ o‘lchamli birlik vektor va

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

simmetrik uch diagonalli matritsadir.

Shunday qilib, dastlabki katta masshtabli xos qiymatlar masalasining xos qiymatlarini $T_m$ uch diagonalli matritsaning xos qiymatlarini hisoblash orqali yaqinlashtirish mumkin.

Tegishli mavzular¶

Chastotaviy javob tahlili — modal tahlil natijalaridan foydalanadigan chastotaviy javob
Tahlil turlari — modal tahlil funksiyasining umumiy ko‘rinishi