Bỏ qua

Đàn hồi tuyến tính

Chương này trình bày quan hệ cấu thành của vật liệu đàn hồi tuyến tính (định luật Hooke). Để biết chi tiết về cách lựa chọn và chỉ định đầu vào, xem phần chức năng 03_material.

Hiện tượng (đáp ứng đàn hồi tuyến tính)

Vật thể đàn hồi tuyến tính là vật liệu mà trong miền biến dạng đủ nhỏ dưới tải, ứng suất và biến dạng có quan hệ tuyến tính, đồng thời biểu hiện đáp ứng thuận nghịch và không phụ thuộc lịch sử: khi dỡ tải, toàn bộ biến dạng trở về trạng thái ban đầu. Khác với tính dẻo hay từ biến, vật liệu này không có biến nội tại biểu diễn trạng thái (như biến dạng dẻo hoặc biến dạng nhớt), và ứng suất được xác định duy nhất chỉ bởi biến dạng tại thời điểm hiện tại.

Trong miền biến dạng nhỏ, sử dụng ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) và biến dạng nhỏ \(\boldsymbol{\varepsilon}\); trong miền biến dạng hữu hạn (bài toán có quay lớn nhưng bản thân biến dạng vẫn nhỏ), sử dụng ứng suất Piola-Kirchhoff thứ 2 \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (vật liệu St.Venant-Kirchhoff).

Quan hệ cấu thành

Vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

Trong miền biến dạng nhỏ, định luật Hooke đẳng hướng được biểu diễn bằng các hằng số Lamé \(\lambda, \mu\) như sau:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Dưới dạng thành phần:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

và phép co kép với biến dạng cho \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Các hằng số Lamé có quan hệ với môđun Young \(E\) và hệ số Poisson \(\nu\) như sau:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Trong ký hiệu Voigt, quan hệ giữa vectơ biến dạng \(\hat{\varepsilon}\) và vectơ ứng suất \(\hat{\sigma}\) được viết là \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), và ma trận vật liệu 3 chiều \(D\) được cho bởi

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(trong triển khai sử dụng biểu diễn ma trận này).

Vật liệu đàn hồi tuyến tính trực hướng

Đối với vật liệu có các hằng số đàn hồi khác nhau theo từng trục chính, sử dụng mô hình trực hướng với 9 hằng số độc lập: môđun Young theo các trục chính \(E_1, E_2, E_3\), hệ số Poisson giữa các trục chính \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) và môđun trượt \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Dạng cụ thể của ma trận \(D\) được trình bày trong các tài liệu tham khảo tiêu chuẩn.

Miền biến dạng hữu hạn: vật liệu St.Venant-Kirchhoff

Đối với bài toán có quay lớn nhưng bản thân biến dạng nhỏ, vật liệu St.Venant-Kirchhoff được sử dụng như một định luật đàn hồi tuyến tính liên hệ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ 2 \(\boldsymbol{S}\) với biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Định nghĩa các hằng số Lamé \(\lambda, \mu\) giống như trong trường hợp biến dạng nhỏ. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng do cặp định nghĩa ứng suất–biến dạng khác nhau, đây là một quan hệ cấu thành khác với định luật Hooke cho biến dạng nhỏ.

Vật liệu hypoelastic

Trong phương pháp Updated Lagrange, sử dụng vật liệu hypoelastic áp dụng định luật đàn hồi tuyến tính giữa tốc độ Jaumann của tensor ứng suất Kirchhoff tương đối \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) và tensor tốc độ biến dạng \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Ở đây định nghĩa \(\boldsymbol{C}\) theo các hằng số Lamé cũng giống như trên, nhưng do cặp ứng suất–biến dạng khác nên đây là một quan hệ cấu thành khác. Để biết chi tiết cách cập nhật ứng suất \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) thông qua quy trình tích phân theo thời gian (tích phân Euler tiến và xấp xỉ sai phân trung tâm), xem tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Rút gọn cho phân tích 2 chiều và phần tử vỏ

Ứng suất phẳng (\(\sigma_{33} = 0\))

Trong trạng thái ứng suất phẳng biểu diễn tải của tấm mỏng và vỏ, giả thiết \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) và sử dụng \(D\) sau khi loại bỏ đại số thành phần biến dạng ngoài mặt phẳng \(\varepsilon_{33}\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Biến dạng phẳng (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Trong trạng thái biến dạng phẳng biểu diễn mặt cắt của một kết cấu dài bị ràng buộc theo phương chiều dày, giả thiết \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Đối xứng trục

Trong phân tích đối xứng trục, xử lý bài toán đồng nhất theo phương \(\theta\) trong tọa độ trụ \((r, \theta, z)\), giữ lại 4 thành phần \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) và \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), khi đó

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

được thu được.

Phần tử vỏ (ứng suất phẳng + trượt ngang)

Đối với phần tử vỏ, ứng suất trong mặt phẳng được xử lý như trạng thái ứng suất phẳng; ngoài ra, đối với các thành phần biến dạng trượt ngang \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), sử dụng \(\kappa\, G\) với hệ số hiệu chỉnh trượt \(\kappa\) (thông thường \(\kappa = 5/6\)). Để biết công thức cụ thể của từng phần tử, xem Công thức phần tử nâng cao. Quy định trong phần chức năng 03_material rằng “phần tử vỏ chỉ hỗ trợ đàn hồi tuyến tính” dựa trên sự đơn giản hóa này, trong đó trạng thái trong mặt phẳng được xử lý như ứng suất phẳng.

Phụ thuộc nhiệt độ

Môđun Young \(E\), hệ số Poisson \(\nu\) và hệ số giãn nở tuyến tính \(\alpha\) nói chung được chỉ định dưới dạng hàm của nhiệt độ \(T\). Trong FrontISTR, nhập các giá trị tại một dãy hữu hạn các điểm nhiệt độ \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), và đối với nhiệt độ \(T\) trong quá trình tính toán, giá trị được đánh giá bằng nội suy tuyến tính giữa các điểm lân cận. Với nhiệt độ nằm ngoài phạm vi (\(T < T_1\) hoặc \(T > T_n\)), sử dụng giá trị tại đầu mút gần nhất \(T_1\) hoặc \(T_n\) để ngoại suy (ngoại suy hằng).

Để biết sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất nhiệt và dẫn nhiệt (khối lượng riêng, nhiệt dung riêng và hệ số dẫn nhiệt), xem Tính chất nhiệt. Quy tắc nội suy là chung cho các tính chất này.

Chủ đề liên quan