Bỏ qua

Đàn dẻo

Chương này trình bày khung quan hệ cấu thành đàn dẻo được FrontISTR sử dụng. Để biết chi tiết về cách lựa chọn và chỉ định đầu vào, xem phần chức năng 03_material.

Hiện tượng (biến dạng dẻo)

TBD (sẽ được viết đầy đủ ở giai đoạn tiếp theo).

Khung quan hệ cấu thành

FrontISTR sử dụng quan hệ cấu thành đàn dẻo tuân theo quy tắc dòng liên kết. Quan hệ cấu thành này biểu diễn mối quan hệ giữa tốc độ Jaumann của ứng suất Kirchhoff và tensor tốc độ biến dạng; phân tích biến dạng áp dụng phương pháp updated Lagrange.

Giả sử điều kiện chảy của vật liệu đàn dẻo được cho như sau.

Điều kiện chảy ban đầu:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Điều kiện chảy tiếp theo:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

Trong đó,

  • \(F\): hàm chảy
  • \(\sigma_{y_0}\): ứng suất chảy ban đầu
  • \(\sigma_y\): ứng suất chảy tiếp theo
  • \(\sigma\): tensor ứng suất
  • \(e\): tensor biến dạng nhỏ
  • \(e^p\): tensor biến dạng dẻo
  • \(\overline{e}^p\): biến dạng dẻo tương đương

Giả sử quan hệ ứng suất chảy–biến dạng dẻo tương đương trùng với quan hệ ứng suất–biến dạng dẻo trong trạng thái một trục.

Quan hệ ứng suất–biến dạng dẻo trong trạng thái một trục

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Trong đó, \(H'\) là hệ số hóa bền biến dạng.

Quan hệ ứng suất tương đương–biến dạng dẻo tương đương

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Nói chung, hàm chảy tiếp theo là hàm của nhiệt độ và công biến dạng dẻo; ở đây để đơn giản, giả sử nó chỉ là hàm của biến dạng dẻo tương đương \(\overline{e}^p\). Trong quá trình biến dạng dẻo, vì \(F = 0\) phải luôn được thỏa mãn, phương trình sau phải đúng.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Trong đó, \(\dot{F}\) biểu thị đạo hàm theo thời gian của \(F\); từ đây, đạo hàm theo thời gian của một đại lượng \(A\) được ký hiệu là \(\dot{A}\).

Giả sử tồn tại thế dẻo \(\Theta\), tốc độ biến dạng dẻo được biểu diễn bởi phương trình sau.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Trong đó, \(\dot{\lambda}\) là một hệ số.

Tiếp theo, giả sử thế dẻo \(\Theta\) bằng hàm chảy \(F\) và áp dụng quy tắc dòng liên kết sau.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Thay phương trình này vào điều kiện nhất quán, ta được phương trình dưới đây.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Trong đó, \(D\) là ma trận đàn hồi, và

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Quan hệ ứng suất–biến dạng đàn dẻo có thể viết như sau.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Nếu biết hàm chảy \(F\) của vật liệu đàn dẻo, có thể thu được quan hệ cấu thành từ phương trình này.

Hàm chảy

Dưới đây liệt kê các hàm chảy đàn dẻo được FrontISTR sử dụng.

Hàm chảy von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Trong đó, \(J_2\) là bất biến thứ hai của tensor ứng suất lệch.

Hàm chảy Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Trong đó, \(\sigma_1, \sigma_3\) là ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất, \(c\) là lực dính kết và \(\phi\) là góc ma sát trong.

Hàm chảy Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Ở đây, các hằng số vật liệu \(\alpha\) và \(\sigma_y\) được tính từ lực dính kết và góc ma sát của vật liệu như sau.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Chủ đề liên quan