Bỏ qua

Công ảo của ngoại lực và lắp ráp phương trình tổng thể

Trong rời rạc hóa công ảo của nội lực, vế trái của dạng yếu đã được quy về vectơ nội lực phần tử \(\boldsymbol{q}^e\) (phương pháp UL) hoặc \(\boldsymbol{Q}^e\) (phương pháp TL). Chương này đưa vào vectơ ngoại lực nút phần tử \(\boldsymbol{F}^e\) từ công ảo của ngoại lực, sau đó thực hiện thao tác lắp ráp để sắp xếp lại và cộng dồn các đại lượng nút phần tử theo số hiệu nút toàn cục, qua đó đi đến hệ phương trình phi tuyến theo chuyển vị nút mà phân tích kết cấu phi tuyến của FrontISTR cần giải.

Phân rã theo phần tử của công ảo ngoại lực

Vế phải của nguyên lý công ảo có thể được phân rã theo từng phần tử thành công ảo của ngoại lực, gồm lực thể tích (lực khối) và lực bề mặt quy định trên biên cơ học. Để viết phép nội suy chuyển vị được giới thiệu trong hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn dưới dạng ma trận, dùng khối \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) có hàm dạng \(N_\alpha^e\) của nút \(\alpha\) trên đường chéo, và ghép các khối này theo chiều ngang thành \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), sao cho \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Thay biểu thức này vào công ảo của ngoại lực được viết trong cấu hình tham chiếu, ta được

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Ở đây, vectơ ngoại lực nút phần tử được sắp xếp thành \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Nhờ đó, công ảo của ngoại lực được quy về cùng dạng “vectơ nút phần tử × hàm thử” như phía nội lực (nếu viết trong cấu hình hiện tại thì cũng có cùng dạng sau các phép thay \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Lắp ráp các đại lượng vật lý tại nút phần tử

Các đại lượng nút \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) thu được cho từng phần tử được cộng dồn vào các vectơ toàn cục được sắp theo số hiệu nút toàn cục. Biểu diễn số hiệu nút toàn cục tương ứng với số hiệu nút cục bộ \(\alpha\) của phần tử \(\Omega^e\) là

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

thì đại lượng nút phần tử trùng với thành phần tương ứng của đại lượng nút toàn cục (ví dụ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Vì nút \(i_g\) nói chung được dùng chung bởi nhiều phần tử, ta định nghĩa tập hợp các cặp \((e, \alpha)\) có số hiệu nút toàn cục bằng \(i_g\) là

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Dùng tập hợp này để viết lại tổng dưới dạng \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), ta thu được nội lực nút và vectơ nội lực toàn cục trên toàn bộ \(n_g\) nút:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Trong đó, \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) tương ứng với hợp lực của các nội lực nút phần tử tác dụng lên nút \(i_g\) và bằng \(\boldsymbol{0}\) khi không có ngoại lực tác dụng và hệ ở trạng thái cân bằng. Với phương pháp UL, cùng thủ tục cũng cho \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); do về giá trị \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), từ đây ký hiệu \(\boldsymbol{Q}\) được dùng thống nhất trừ những chỗ cần phân biệt. Vectơ ngoại lực toàn cục \(\boldsymbol{F}\) cũng được thu bằng cùng phép cộng dồn.

Trong triển khai, không tạo tường minh tập \(\mathcal{E}(i_g)\); thay vào đó, các đóng góp được cộng vào thành phần tương ứng trong vòng lặp phần tử.

Khởi tạo vectơ nội lực toàn cục Q bằng 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (số phần tử)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vectơ ngoại lực toàn cục \(\boldsymbol{F}\) cũng được xây dựng bằng cùng thủ tục. Thao tác cộng và lưu các đại lượng nút phần tử vào các vectơ và ma trận được đánh số theo nút toàn cục được gọi là lắp ráp (assemble). Đối với tensor bậc hai liên quan đến hai số hiệu nút (chẳng hạn ma trận độ cứng), có thể thực hiện phép lắp ráp tương tự bằng tập \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (xem ma trận độ cứng tiếp tuyến để biết cách xây dựng cụ thể).

Phương trình phi tuyến cần giải

Thay các kết quả lắp ráp nội lực và ngoại lực vào nguyên lý công ảo, và dùng tính chất biểu thức đúng với mọi hàm thử \(\delta\boldsymbol{u}^n\) thỏa điều kiện biên hình học, ta được

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Trong bối cảnh phân tích gia tăng (khung phân tích gia tăng), khôi phục chỉ số thời gian \(_{n+1}\) và bỏ chỉ số trên \(^n\) biểu thị vectơ nút toàn cục, phương trình cần giải trở thành

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Do đó, bài toán giá trị biên đã rời rạc hóa nhằm tìm chuyển vị nút \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) tại thời điểm \(t_{n+1}\) được quy về việc giải phương trình phi tuyến theo chuyển vị này cùng với các điều kiện biên hình học. Việc tuyến tính hóa phương trình và xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến được trình bày trong ma trận độ cứng tiếp tuyến, còn phương pháp giải lặp được trình bày trong phương pháp Newton-Raphson.

Chủ đề liên quan