Bỏ qua

Khung phân tích gia tăng

Sự cần thiết của phân tích gia tăng

Như đã trình bày ở trên, khi phân tích bài toán biến dạng nhỏ, có thể thực hiện phân tích phần tử hữu hạn bằng cách sử dụng nguyên lý công ảo, vốn tương đương với các phương trình cơ bản như phương trình cân bằng, rồi rời rạc hóa phương trình này bằng các phần tử hữu hạn. Đối với bài toán biến dạng hữu hạn xét biến dạng lớn của kết cấu, về cơ bản cũng sử dụng nguyên lý công ảo theo cùng cách đó.

Tuy nhiên, trong bài toán biến dạng hữu hạn, ngay cả khi giả thiết vật liệu tuyến tính thì phương trình của nguyên lý công ảo vẫn trở thành phương trình phi tuyến theo chuyển vị. Để giải phương trình phi tuyến, thông thường sử dụng tính toán lặp bằng phương pháp lặp.

Trong quá trình lặp đó, sử dụng phương pháp phân tích gia tăng: tính toán được thực hiện từng phần đối với các gia tăng tải nhỏ, rồi các gia tăng được tích lũy để đạt đến trạng thái biến dạng cuối cùng. Khi giả thiết bài toán biến dạng nhỏ, cấu hình dùng để định nghĩa biến dạng và ứng suất không cần được phân biệt đặc biệt giữa trước và sau biến dạng. Nói cách khác, dưới giả thiết biến dạng nhỏ, việc cấu hình dùng để mô tả các phương trình cơ bản là cấu hình trước hay sau biến dạng đều không gây vấn đề.

Khi thực hiện phân tích gia tăng cho bài toán biến dạng hữu hạn, công thức sẽ khác nhau tùy theo việc chọn cấu hình ban đầu hay cấu hình tại thời điểm bắt đầu gia tăng làm cấu hình tham chiếu. Phương pháp thứ nhất được gọi là phương pháp total Lagrange, còn phương pháp thứ hai là phương pháp updated Lagrange. Để biết chi tiết, hãy tham khảo các tài liệu ở cuối chương và các tài liệu liên quan.

Phương trình xuất phát: nguyên lý công ảo tại thời điểm \(t'\)

Xét một phân tích gia tăng trong đó trạng thái đến thời điểm \(t\) đã biết và trạng thái tại thời điểm \(t' = t + \Delta t\) là chưa biết (xem Hình 2.2.1). Phương trình cân bằng, điều kiện biên và nguyên lý công ảo tại thời điểm \(t'\) (biểu diễn theo cấu hình hiện tại, dùng ứng suất Cauchy \(^{t'}\sigma\) và phần tuyến tính của biến dạng Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) được cho trong Nguyên lý công ảo.

Khái niệm phân tích gia tăng

Hình 2.2.1　Khái niệm phân tích gia tăng

Tuy nhiên, vì phương trình xuất phát này được mô tả trong cấu hình (chưa biết) tại thời điểm \(t'\), trong quy trình giải thực tế phải chọn lại cấu hình ban đầu \(V\) tại thời điểm \(0\) hoặc cấu hình hiện tại \(^{t'} v\) tại thời điểm \(t\) làm cấu hình tham chiếu, viết lại thành dạng gia tăng rồi mới giải:

  • Phương pháp Total Lagrange — Lấy cấu hình ban đầu \(V\) làm tham chiếu. Sử dụng ứng suất PK thứ 2 \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Phương pháp Updated Lagrange — Lấy cấu hình hiện tại \(^{t}v\) tại thời điểm bắt đầu gia tăng làm tham chiếu. Sử dụng ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) và phần tuyến tính của biến dạng Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Đối với rời rạc hóa không gian của cả hai phương pháp (ma trận B và vectơ nội lực), xem Rời rạc hóa công ảo nội lực; đối với tuyến tính hóa và xây dựng độ cứng tiếp tuyến, xem Ma trận độ cứng tiếp tuyến.

Chủ đề liên quan