Bỏ qua

Tiêu chí hội tụ

Điều kiện chấm dứt quá trình lặp Newton-Raphson (Phương pháp Newton-Raphson), FrontISTR sử dụng 2 hệ thống đại lượng không thứ nguyên: tiêu chí chuẩn của dư và tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh. Cả hai đều dùng chung một định nghĩa, không phụ thuộc vào loại phân tích (phân tích tĩnh, phân tích động bằng phương pháp ẩn) và việc có hay không có tiếp xúc.

Phân tách các đại lượng đánh giá

Các bậc tự do nút trộn lẫn các thành phần có thứ nguyên vật lý khác nhau. Với phần tử 6 bậc tự do, dư của các bậc tự do tịnh tiến có thứ nguyên lực, trong khi dư của các bậc tự do quay có thứ nguyên mô men. Ngoài ra, trong phân tích tiếp xúc bằng phương pháp nhân tử Lagrange (Phân tích tiếp xúc), vector dư có thêm các hàng tương ứng với khe hở tiếp xúc (thứ nguyên độ dài).

Nếu gộp chúng thành 1 tổng bình phương duy nhất, giá trị chuẩn sẽ thay đổi tùy ý theo cách chọn hệ đơn vị và ý nghĩa của ngưỡng sẽ không được xác định. Vì vậy, FrontISTR tách các đại lượng đánh giá theo từng thứ nguyên, không thứ nguyên hóa mỗi đại lượng bằng đại lượng tham chiếu tương ứng, rồi mới thực hiện đánh giá.

Ký hiệu Thành phần Thứ nguyên
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Dư của bậc tự do tịnh tiến (bậc tự do nút 1–3) Lực
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Dư của bậc tự do quay (bậc tự do nút 4–6, chỉ phần tử 6 bậc tự do) Mô men
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Lượng hiệu chỉnh của nhân tử Lagrange Lực

Bậc tự do áp suất của phần tử ghép nối chất lưu (4 bậc tự do nút, \(u,v,w,p\)) không được đưa vào đánh giá.

Với phần tử dầm và vỏ 3 bậc tự do nút (641/761/781), chuyển động quay được biểu diễn bằng bậc tự do 1–3 của nút giả lập ghép đôi với nút tịnh tiến. Vì đánh giá không phân biệt nút giả lập, dư của nút giả lập (mô men) cũng được chứa trong thành phần tịnh tiến \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh và đánh giá theo giá trị lớn nhất cũng tương tự.

Dư \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) đã loại bỏ các thành phần của các bậc tự do bị áp đặt ràng buộc chuyển vị, vì dư xuất hiện trên các bậc tự do này tương ứng với phản lực ràng buộc và không phải là sai số cân bằng (Phương pháp Newton-Raphson).

Tiêu chí chuẩn của dư

Dư \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) tại lặp thứ \(i\) được không thứ nguyên hóa bằng độ lớn của các lực đang sinh ra trong hệ tại thời điểm đó. Lực tham chiếu \(F_\mathrm{ref}\) của thành phần tịnh tiến và mô men tham chiếu \(M_\mathrm{ref}\) của thành phần quay là

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

với \(\boldsymbol{Q}\) là vector nội lực, \(\boldsymbol{D}\) là tổng của lực quán tính và lực nhớt

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(Phân tích động). Trong phân tích tĩnh, \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Chỉ số \(t, r\) biểu thị thành phần tịnh tiến và thành phần quay của mục trước. Các đại lượng đánh giá là

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Đại lượng tham chiếu được lấy là giá trị lớn nhất của các chuẩn của lực nội và lực quán tính/nhớt, chứ không phải tổng vector của chúng \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), vì trong dao động tự do không có ngoại lực, ở trạng thái cân bằng \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) và đại lượng tham chiếu dựa trên tổng vector sẽ rơi về \(0\). Với giá trị lớn nhất của các chuẩn, sự triệt tiêu này không xảy ra.

Khi đại lượng tham chiếu nhỏ hơn giá trị dưới đã định trước (\(10^{-8}\)) (ví dụ như lặp đầu tiên bắt đầu từ trạng thái không chịu tải), không chia cho đại lượng tham chiếu mà dùng chính chuẩn của dư làm đại lượng đánh giá. Lúc đó, đánh giá là đánh giá theo giá trị tuyệt đối của dư.

Tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh

Lượng hiệu chỉnh \(d\boldsymbol{u}_i\) thu được tại lặp thứ \(i\) được không thứ nguyên hóa bằng gia số chuyển vị \(\Delta\boldsymbol{u}\) đã tích lũy từ trước trong bước con đó.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Việc lượng hiệu chỉnh trở nên đủ nhỏ so với gia số tích lũy có nghĩa là quá trình lặp đã dừng lại. Tiêu chí này được dùng như một đánh giá bổ trợ cho các bài toán mà dư chỉ giảm từ từ. Khi mẫu số bằng \(0\), tiêu chí này được xử lý như không được thỏa mãn.

Tiêu chí nhân tử Lagrange

Trong phân tích tiếp xúc bằng phương pháp nhân tử Lagrange, đại lượng sau được thêm vào đánh giá: lượng hiệu chỉnh của nhân tử, được không thứ nguyên hóa bằng độ lớn của chính nhân tử

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Vì ràng buộc khe hở tiếp xúc được tích hợp vào hệ liên hợp dưới dạng phương trình cho nhân tử Lagrange, việc nhân tử đã hội tụ được coi là các ràng buộc đã được thỏa mãn. Chính dư của khe hở, có thứ nguyên độ dài, không được đưa vào tiêu chí chuẩn của dư, vì không thể cộng với dư của lực.

Nhân tử Lagrange là lực tiếp xúc và có cùng thứ nguyên với lực tham chiếu \(F_\mathrm{ref}\), nên mẫu số bị chặn dưới bởi \(F_\mathrm{ref}\). Nếu chỉ không thứ nguyên hóa bằng \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), đánh giá sẽ trở nên nghiêm ngặt không giới hạn khi tiếp xúc hầu như không chịu tải, và với các nút vừa mới tiếp xúc thì \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) trong khi \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), nên đánh giá không thể được thỏa mãn. Cách xử lý khi mẫu số nhỏ hơn giá trị dưới giống như của tiêu chí chuẩn của dư.

Đánh giá theo giá trị lớn nhất

Vì chuẩn L2 là tổng bình phương trên toàn bộ bậc tự do, dư chỉ còn lại ở một số nút sẽ bị pha loãng trên toàn bộ và được đánh giá càng nhỏ khi số nút càng nhiều. Để nắm bắt các trạng thái không cân bằng cục bộ như ở các nút tiếp xúc, có thể dùng đồng thời đánh giá thu được bằng cách thay chuẩn L2 trong mỗi tiêu chí ở các mục trước bằng giá trị lớn nhất của các giá trị tuyệt đối của các thành phần bậc tự do.

Giá trị lớn nhất của thành phần tịnh tiến của vector \(\boldsymbol{v}\) được định nghĩa, với nút \(I\) và bậc tự do nút \(k\), bởi

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Thành phần quay \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) được định nghĩa tương tự cho \(k = 4,5,6\), và với nhân tử Lagrange thì lấy giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của toàn bộ thành phần. Các đại lượng đánh giá thu được bằng cách thay chuẩn L2 của mỗi tiêu chí, cả tử lẫn mẫu, bằng giá trị lớn nhất này.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Thành phần quay cũng tương tự. Cách xử lý khi đại lượng tham chiếu nhỏ hơn giá trị dưới và khi mẫu số bằng \(0\) giống như của các tiêu chí chuẩn L2.

Việc cũng lấy đại lượng tham chiếu là giá trị lớn nhất cùng hình dạng là để giữ cho độ lớn của các đại lượng đánh giá ở mức tương đương với các tiêu chí chuẩn L2, để có thể dùng với các ngưỡng tương đương. Không chia cho các đại lượng tham chiếu riêng cho từng thành phần bậc tự do, vì trong các hướng không có tải, đại lượng tham chiếu tiến về \(0\) và đại lượng đánh giá sẽ mất ý nghĩa.

Với đánh giá theo giá trị lớn nhất, nút và bậc tự do cho ra giá trị lớn nhất được xác định. FrontISTR xuất chúng vào nhật ký cho từng lặp, đối với cả dư lẫn lượng hiệu chỉnh.

Kết hợp các đánh giá

Mỗi đại lượng đánh giá ở các mục trước (đối với dư, lượng hiệu chỉnh, nhân tử Lagrange; thành phần tịnh tiến, thành phần quay; theo chuẩn L2 hay theo giá trị lớn nhất) đều có thể được chỉ định riêng là dùng cho đánh giá (CHECK) hay không dùng (SKIP). Mặc định, tất cả đánh giá theo chuẩn L2 đều là CHECK và tất cả đánh giá theo giá trị lớn nhất đều là SKIP.

Tiêu chí chuẩn của dư và tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh được coi là hội tụ nếu thỏa mãn một trong hai. Mặt khác, tiêu chí nhân tử Lagrange là sự xác nhận rằng ràng buộc tiếp xúc được thỏa mãn, nên luôn được yêu cầu trong các phân tích có nhân tử Lagrange. Trong một tiêu chí, tất cả những hạng mục được đánh dấu CHECK, trong số thành phần tịnh tiến và thành phần quay, chuẩn L2 và giá trị lớn nhất, đều phải được thỏa mãn.

Để biểu diễn điều này bằng công thức, ta định nghĩa 2 đại lượng sau cho nhóm \(G\) các đại lượng đánh giá.

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ được thỏa mãn} \ \vee\ m \text{ là SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ là CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) là đúng nếu \(G\) không chứa đại lượng đánh giá nào được đánh dấu CHECK. Điều kiện hội tụ là

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{tiêu chí nhân tử Lagrange}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{tiêu chí chuẩn của dư}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{tiêu chí chuẩn của dư}) \right) \right\} \]

Việc gắn \(\mathrm{any\_check}\) cho 2 nhóm được nối bằng 'hoặc' là để không cho phép các nhóm không có đại lượng đánh giá nào được chỉ định CHECK đi thẳng qua đánh giá. Thành phần quay của các phân tích không có bậc tự do quay và tiêu chí nhân tử Lagrange của các phân tích không có nhân tử Lagrange không được dùng cho đánh giá, ngay cả khi được chỉ định CHECK. Với cài đặt mặc định, điều kiện hội tụ là

\[ \left( \text{tiêu chí nhân tử Lagrange} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{tiêu chí chuẩn của lượng hiệu chỉnh} \right) \ \vee\ \left( \text{tiêu chí chuẩn của dư} \right) \right\} \]

Như vậy, trong các phân tích có bậc tự do quay, cả thành phần tịnh tiến lẫn thành phần quay đều được đánh giá, còn trong các phân tích không có nhân tử Lagrange, điều kiện loại trừ tiêu chí nhân tử Lagrange được đánh giá.

Cách chỉ định và giá trị mặc định của các ngưỡng \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) cho đánh giá theo chuẩn L2, xem !STEP; về CHECK/SKIP và các ngưỡng của đánh giá theo giá trị lớn nhất, xem !CONVERG_PARAM; về chỉ dẫn để lựa chọn cách dùng, xem Lặp phi tuyến và tích phân theo thời gian (chức năng).

Chủ đề liên quan