Phân tích dao động riêng¶

Bài toán giá trị riêng tổng quát¶

Khi phân tích dao động tự do của một môi trường liên tục, kết cấu được rời rạc hóa theo không gian và mô hình hóa thành hệ nhiều bậc tự do với khối lượng tập trung, như thể hiện trong Hình 2.3.1. Đối với bài toán dao động tự do không cản, phương trình chi phối (phương trình chuyển động) có dạng như sau.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Ở đây, $u$ là vectơ chuyển vị tổng quát, $M$ là ma trận khối lượng và $K$ là ma trận độ cứng. Gọi $\omega$ là tần số góc riêng, $a$ và $b$ là các hằng số tùy ý không đồng thời bằng 0, và $x$ là một vectơ. Định nghĩa hàm

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Đạo hàm bậc hai của hàm này là

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Thay Phương trình $\eqref{eq:2.3.2}$ và Phương trình $\eqref{eq:2.3.3}$ vào Phương trình $\eqref{eq:2.3.1}$, ta được

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Ta thu được phương trình trên.

Đối với dao động không tầm thường, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ không đồng nhất bằng 0.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Do đó, hệ thức trên được thỏa mãn. Đặt $\lambda=\omega^2$, ta được

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Ta thu được phương trình trên.

Đại lượng vô hướng $\lambda$ được gọi là giá trị riêng, vectơ $x$ được gọi là vectơ riêng, và bài toán biểu diễn bởi Phương trình $\eqref{eq:2.3.5}$ được gọi là bài toán giá trị riêng tổng quát.

Tần số góc riêng $\omega$ được xác định từ giá trị riêng $\lambda=\omega^2$, còn vectơ riêng tương ứng $x$ biểu diễn một dạng dao động.

Ví dụ về hệ nhiều bậc tự do cho dao động tự do không cản

Hình 2.3.1 Ví dụ về hệ nhiều bậc tự do cho dao động tự do không cản

Tính chất và giả thiết của ma trận¶

Đối với bài toán giá trị riêng tổng quát $Kx=\lambda Mx$ thu được ở phần trước, tài liệu này giả thiết rằng các ma trận là đối xứng. Với ma trận phức, điều này tương ứng với ma trận Hermite; với ma trận thực, điều này tương ứng với ma trận đối xứng.

Gọi $k_{ij}$ là phần tử $ij$ của ma trận $K$. Tính Hermite được biểu diễn bởi

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

phương trình trên, trong đó $\bar{k}_{ji}$ là số phức liên hợp của $k_{ji}$. Đối với ma trận thực, quan hệ này trở thành $k_{ij}=k_{ji}$.

Ma trận thực đối xứng $H$ là xác định dương nếu, với mọi vectơ khác không $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

bất đẳng thức trên được thỏa mãn. Khi đó, mọi giá trị riêng của $H$ đều dương.

Trong bài toán giá trị riêng kết cấu, ma trận khối lượng $M$ thường được xem là xác định dương. Tuy nhiên, ma trận độ cứng $K$ có thể là nửa xác định dương tùy theo điều kiện ràng buộc và có thể có các giá trị riêng bằng không tương ứng với các dạng vật rắn.

Phương pháp lặp nghịch đảo có dịch chuyển¶

Trong phân tích kết cấu thực tế bằng phương pháp phần tử hữu hạn, thường không cần tất cả các giá trị riêng; nhiều trường hợp chỉ cần nhiều nhất vài giá trị riêng bậc thấp. HEC-MW được thiết kế cho các bài toán quy mô lớn, trong đó ma trận có kích thước lớn và rất thưa, với nhiều phần tử bằng không. Vì vậy, cần tính hiệu quả các giá trị riêng của những dạng bậc thấp khi xét đến các đặc điểm này.

Với độ dịch chuyển $\sigma$, nếu $-\sigma$ không phải là giá trị riêng và $K+\sigma M$ không suy biến, Phương trình $\eqref{eq:2.3.5}$ có thể được biến đổi như sau.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Phép biến đổi này giữ nguyên vectơ riêng $x$ và ánh xạ giá trị riêng $\lambda$ thành $1/(\lambda+\sigma)$.

Do đó, $\lambda$ càng gần $-\sigma$ thì trị tuyệt đối của giá trị riêng sau biến đổi càng lớn. Trong bài toán giá trị riêng kết cấu, $\lambda \geq 0$ và $\sigma \geq 0$, nên giá trị riêng thấp nhất được ánh xạ thành giá trị riêng có trị tuyệt đối lớn nhất. Nhờ tính chất này, khi áp dụng cho Phương trình $\eqref{eq:2.3.8}$ một phương pháp lặp có xu hướng hội tụ trước đến các giá trị riêng có trị tuyệt đối lớn, có thể tính hiệu quả các giá trị riêng bậc thấp theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp này được gọi là phương pháp lặp nghịch đảo có dịch chuyển.

Đối với phân tích có ràng buộc, FrontISTR đặt $\sigma = 0$, và Phương trình $\eqref{eq:2.3.8}$ trở thành $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, tức là phép lặp nghịch đảo không dịch chuyển. Trong phân tích tự do-tự do không ràng buộc, $K$ suy biến vì có các giá trị riêng bằng không tương ứng với các dạng vật rắn; gán giá trị dương cho $\sigma$ sẽ chính quy hóa $K+\sigma M$. Giá trị $\sigma$ được chỉ định bằng SIGMA trong !EIGEN.

Phương pháp Lanczos¶

Lý do lựa chọn (so sánh với phương pháp Jacobi)¶

Phương pháp Jacobi là một phương pháp cổ điển được biết đến rộng rãi.

Phương pháp này hiệu quả khi ma trận nhỏ và đặc. Tuy nhiên, vì các ma trận do HEC-MW xử lý có kích thước lớn và thưa, phương pháp Jacobi không được sử dụng; thay vào đó, phương pháp lặp Lanczos được áp dụng.

Thuật toán và đặc điểm¶

Được C. Lanczos đề xuất vào thập niên 1950, phương pháp này là một thuật toán đưa ma trận về dạng ba đường chéo và có các đặc điểm sau.

Đây là phương pháp lặp và có thể tiến hành tính toán trong khi vẫn giữ ma trận ở dạng thưa.
Các phép toán chủ yếu là tích ma trận-vectơ, vì vậy rất phù hợp với song song hóa.
Phương pháp phù hợp với phân hoạch miền hình học gắn với lưới phần tử hữu hạn.
Có thể tính toán hiệu quả bằng cách giới hạn số lượng giá trị riêng hoặc phạm vi dạng dao động cần tìm.

Phương pháp Lanczos bắt đầu từ một vectơ ban đầu, lần lượt xây dựng các vectơ trực giao và thu được một cơ sở của không gian con Krylov.

Trong số học độ chính xác hữu hạn, sai số làm tròn có thể làm các vectơ mất tính trực giao. Để hạn chế ảnh hưởng này, triển khai FrontISTR tái trực giao hóa từng vectơ đối với các vectơ cơ sở Lanczos đã thu được.

Ý nghĩa hình học (không gian con Krylov)¶

Áp dụng các phép đổi biến sau cho Phương trình $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

bài toán có thể được viết lại thành

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Ta thu được phương trình trên.

Với một vectơ tùy ý khác không $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

không gian được sinh bởi các vectơ này,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

được gọi là không gian con Krylov.

Phương pháp Lanczos lần lượt xây dựng một cơ sở cho không gian con Krylov này.

FrontISTR sử dụng tích vô hướng sau đây gắn với ma trận khối lượng $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

để trực chuẩn hóa cơ sở. Tích vô hướng $\langle x,y\rangle$ và chuẩn $\|x\|$ thể hiện trong các hình sau được hiểu trong các phép tính của FrontISTR lần lượt là tích vô hướng-$M$ này và chuẩn-$M$ tương ứng

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

tương ứng.

Áp dụng phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận $A$ cho một vectơ tùy ý $q_0$, như thể hiện trong Hình 2.3.2.

$Phép biến đổi tuyến tính của $q_0$ bởi ma trận $A$$

Hình 2.3.2 Phép biến đổi tuyến tính của $q_0$ bởi ma trận $A$

Vectơ sau biến đổi được trực giao hóa trong không gian do nó và vectơ ban đầu sinh ra. Cụ thể, phép trực giao hóa Gram-Schmidt được thực hiện như trong Hình 2.3.3. Gọi vectơ thu được là $r_1$; chuẩn hóa nó sẽ cho $q_1$.

$Vectơ $q_1$ trực giao với $q_0$$

Hình 2.3.3 Vectơ $q_1$ trực giao với $q_0$

Quy trình tương tự cho $q_2$ từ $q_1$. Khi đó, $q_2$ trực giao với cả $q_1$ và $q_0$, như thể hiện trong Hình 2.3.4.

$Vectơ $q_2$ trực giao với $q_1$ và $q_0$$

Hình 2.3.4 Vectơ $q_2$ trực giao với $q_1$ và $q_0$

Theo cách này, phương pháp Lanczos lần lượt xây dựng một cơ sở trực chuẩn cho không gian con Krylov. Về lý thuyết, tính đối xứng của bài toán giá trị riêng cho phép biểu diễn phép lặp này bằng một hệ thức truy hồi ba số hạng sử dụng các vectơ cơ sở gần nhất.

Tuy nhiên, triển khai FrontISTR tái trực giao hóa từng vectơ đối với các vectơ cơ sở Lanczos đã thu được bằng tích vô hướng-$M$, nhằm hạn chế sự mất trực giao do số học độ chính xác hữu hạn.

Ba đường chéo hóa¶

Trong phép lặp Lanczos của FrontISTR, các vectơ cơ sở được trực chuẩn hóa theo tích vô hướng-$M$ đã nêu ở phần trước, nên

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

hệ thức trên được thỏa mãn.

Sử dụng ma trận $A$ trong Phương trình $\eqref{eq:2.3.10}$, phép lặp Lanczos lý thuyết có dạng

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

được biểu diễn bởi hệ thức truy hồi ba số hạng ở trên.

Trước hết, $\alpha_i$ được định nghĩa như sau.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Tiếp theo, định nghĩa phần dư tạm thời là

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

như thể hiện ở trên.

Để hạn chế sự mất trực giao do số học độ chính xác hữu hạn, triển khai FrontISTR tái trực giao hóa $\tilde{r}_{i+1}$ đối với các vectơ cơ sở Lanczos đã thu được bằng tích vô hướng-$M$. Nếu $r_{i+1}$ là phần dư sau khi tái trực giao hóa, thì

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

các hệ thức trên được thỏa mãn.

Gom $m$ vectơ cơ sở thu được từ phép lặp Lanczos thành

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Khi đó, sau một số hữu hạn phép lặp Lanczos,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

hệ thức trên được thỏa mãn.

Ở đây, $e_m$ là vectơ đơn vị $m$ chiều có thành phần thứ $m$ bằng 1 và các thành phần còn lại bằng không, và

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

là một ma trận ba đường chéo đối xứng.

Do đó, các giá trị riêng của bài toán giá trị riêng quy mô lớn ban đầu có thể được xấp xỉ bằng cách tính các giá trị riêng của ma trận ba đường chéo $T_m$.

Chủ đề liên quan¶

Phân tích đáp ứng tần số — Đáp ứng tần số sử dụng kết quả phân tích dao động riêng
Loại phân tích — Tổng quan chức năng của phân tích dao động riêng