Bỏ qua

Xử lý điều kiện biên hình học

Trong Phương pháp Newton-Raphson, phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) được giải ở mỗi lần lặp nhưng điều kiện biên hình học (ràng buộc chuyển vị) vẫn chưa được đưa vào. Chương này trình bày cách sửa ma trận độ cứng \(\boldsymbol{K}\) và vectơ phần dư \(\boldsymbol{R}\) đối với các bậc tự do có ràng buộc chuyển vị \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), sao cho chuyển vị sau quá trình lặp đạt giá trị ràng buộc. Ràng buộc đa điểm (MPC) và các ràng buộc phi tuyến do tiếp xúc được xử lý theo hệ thống khác; xem Ràng buộc đa điểm và Tiếp xúc.

Chính sách giữ bậc tự do bị ràng buộc như biến chưa biết

Chuyển vị của nút có điều kiện biên hình học không còn là biến chưa biết mà được cố định tại giá trị quy định \(\bar{u}_i\). Có thể coi các bậc tự do này là hằng số và loại chúng khỏi phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); tuy nhiên, FrontISTR thực hiện ràng buộc bằng cách giữ các bậc tự do bị ràng buộc trong vectơ hiệu chỉnh \(d\boldsymbol{u}\) giống như các bậc tự do khác, đồng thời sửa phía \(\boldsymbol{K}\) và \(\boldsymbol{R}\).

Với cách này, kích thước của ma trận hệ số và thứ tự các bậc tự do không thay đổi tùy theo có hay không có ràng buộc, nên không cần loại biến rồi đóng gói lại các hàng và cột bị trống. Vì việc đóng gói lại như vậy phức tạp trong triển khai lưu ma trận hệ số ở dạng ma trận thưa, FrontISTR sử dụng phương pháp thứ hai, trong đó ràng buộc chỉ được thực hiện bằng việc cập nhật ma trận hệ số và vế phải.

Giá trị mục tiêu của hiệu chỉnh Newton-Raphson

Đối với bậc tự do bị ràng buộc chuyển vị \(i\), sửa \(\boldsymbol{K}\) và \(\boldsymbol{R}\) sao cho lượng hiệu chỉnh \(du_i\) thu được trong lặp Newton-Raphson là

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{lần lặp thứ 1}) \\ 0 & (\text{từ lần lặp thứ 2 trở đi}) \end{cases} \]

Nhờ đó, ở lần lặp đầu tiên, gia tăng chuyển vị đạt giá trị ràng buộc \(\bar{u}_i\); từ lần lặp thứ hai trở đi, lượng hiệu chỉnh bằng \(0\) và giá trị ràng buộc được duy trì.

Quy trình biến đổi ma trận và vectơ phần dư

Giá trị mục tiêu ở phần trước được thực hiện bằng hai phép biến đổi sau trong khi vẫn giữ dạng của phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Đưa hàng \(i\) về dạng đường chéo: Thay phần tử đường chéo \(K_{ii}\), là hệ số của \(du_i\), bằng \(1\), thay mọi hệ số khác \(K_{ij}\ (j \not= i)\) bằng \(0\), và đặt vế phải thành \(R_i \to d\bar{u}_i\). Khi đó phương trình ở hàng \(i\) trở thành \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Chuyển hạng từ các hàng \(j(\not= i)\): Với mỗi hàng \(j(\not= i)\), nếu \(K_{ji} \not= 0\), chuyển hạng \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) sang vế phải. Tức là trừ \(K_{ji} d\bar{u}_i\) khỏi vế phải và đặt hệ số \(K_{ji}\) của \(du_i\) bằng \(0\).

Viết theo thành phần, phương trình trước và sau biến đổi tương ứng như sau.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Ký hiệu ma trận hệ số và vế phải sau biến đổi lần lượt là \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\). Phương trình tuyến tính cuối cùng cần giải là

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Nếu có nhiều bậc tự do bị ràng buộc, lần lượt áp dụng các biến đổi 1 và 2 nêu trên cho từng bậc tự do bị ràng buộc \(i\).

Phạm vi xử lý trong triển khai ma trận thưa

Trong triển khai, ma trận hệ số \(\boldsymbol{K}\) được lưu ở dạng ma trận thưa. Vì vậy, việc xử lý các hàng \(j(\not= i)\) trong thủ tục 2 của phần trước chỉ được thực hiện đối với những hàng có phần tử khác 0 ở cột \(i\), tức là đối với các bậc tự do của các nút nối với bậc tự do bị ràng buộc \(i\) thông qua phần tử. Đối với các bậc tự do không liên kết, \(K_{ji} = 0\), nên việc chuyển hạng không làm thay đổi vế phải. Nhờ giới hạn này, xử lý ràng buộc được hoàn tất chỉ bằng các thao tác cục bộ so với tổng số nút.

Chủ đề liên quan