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形状関数の空間微分

形状関数と有限要素近似で導入した形状関数 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) は要素のローカル座標である自然座標 \(\boldsymbol{r}\) の関数として与えられる．一方，弱形式の被積分関数にはひずみ・変位関係を介して物理座標（基準配置 \(\boldsymbol{X}\) または現配置 \(\boldsymbol{x}\)）に関する偏微分 \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) あるいは \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) が現れる．本章ではこれら形状関数の空間微分を，要素節点座標と自然座標微分から計算する手続きを整理する．

連鎖率による空間微分の表現

補間式 \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\)（前章）の下で連鎖率を適用すると，自然座標から物理座標への写像のヤコビアン行列 \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) を用いて

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

が得られる．ここで \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) および \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) は行 \(\alpha\) が節点 \(\alpha\) の偏微分ベクトルを表す \(n_e \times 3\) 行列である．

ヤコビアン行列の構成

補間式を \(\boldsymbol{r}\) で偏微分すると

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

となり，要素節点座標 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) と自然座標微分 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) から直接構成できる．自然座標微分は形状関数の関数形から決まり，要素種類ごとにあらかじめ実装される．

ヤコビアン行列の行列式 \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) は数値積分での体積素片の変換 \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) に用いる．行列式が \(0\) になる場合は要素が退化しており，計算は破綻する．

計算フロー

以上の導出から，空間微分 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) の計算は次の 4 段階に分けられる．

  1. 自然座標微分の計算：要素種類と評価点の自然座標 \(\boldsymbol{r}\) を入力として，自然座標微分行列 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) を計算する．要素種類ごとに形状関数の関数形が異なるため，要素種類で分岐する．
  2. ヤコビアン行列の計算：要素節点座標 \(\boldsymbol{X}^e\) と \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) から，前節の式によりヤコビアン行列 \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) を組み立てる．
  3. 逆行列・行列式の計算：ヤコビアン行列の逆行列 \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) と行列式を計算する．行列式は数値積分の重みに用いる．
  4. 空間微分の計算：\(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) と \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) の積として空間微分 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) を得る．

この 4 段階は要素種類・空間次元（2 次元・3 次元）に応じて分岐するが，全体の流れは共通である．

基準配置と現配置での共通化

上記の手続きは \(\boldsymbol{X}^e\) を現配置の節点座標 \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) に置き換えるだけで現配置の空間微分 \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) にも適用できる．したがって Total Lagrange 法と Updated Lagrange 法で，入力する節点座標を切り替えるだけで同一の手続きを共用できる．

関連項目