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数値積分

内力仮想仕事の離散化および外力仮想仕事と全体方程式の組立てで得た要素内力ベクトル \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) や要素剛性行列 \(\boldsymbol{K}^e\) は要素領域 \(\Omega^e\) または \(\Omega^e_0\) 上の積分の形をとる．FrontISTR ではこれらを Gauss 積分公式で数値的に評価する．

Gauss 積分公式と変数変換

Gauss 積分公式は標準領域 \(\Xi\) 上の積分を積分点 \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) における被積分関数値と重み \(w_i\) の線形和で近似する．要素領域 \(\Omega^e\) への適用は写像 \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) による変数変換を伴い，

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

と書ける．\(n_q\) は積分点数，\(J_{\xi_i}\) は変換ヤコビアン行列式である．標準領域 \(\Xi\) は要素種類ごとに定められ（六面体は \([-1,1]^3\)，三角形・四面体・くさび形は各基準形状），積分点 \(\boldsymbol{\xi}_i\) と重み \(w_i\) は数値表として与えられる．面積分も要素面を 2 次元の標準領域から写すことで同形式で扱う．

FrontISTR が採用する代表的な積分点数を以下に示す（要素型との対応は要素番号体系と形状関数ライブラリを参照）．

要素タイプ 積分公式 積分点数
4 節点四面体（tet4n） 1 点公式 1
10 節点四面体（tet10n） 4 点公式 4
6 節点三角柱（prism6n） 2 点公式 2
15 節点三角柱（prism15n） 9 点公式 9
8 節点六面体（hex8n） 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20 節点六面体（hex20n） 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4 節点四辺形（quad4n） 2×2 Gauss-Legendre 4
8 節点四辺形（quad8n） 3×3 Gauss-Legendre 9
3 節点三角形（tri3n） 1 点公式 1
6 節点三角形（tri6n） 3 点公式 3

六面体・四辺形・線分要素では各軸方向の Gauss-Legendre 公式のテンソル積をとる．三角形・四面体・三角柱は単面体形状に適した専用の公式（三角形そのもの上で多項式を厳密に積分する点配置）を用いる．

要素積分への適用

要素積分では自然座標 \(\boldsymbol{r}\) を標準領域の座標とし（\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)），物理座標への写像は形状関数による節点座標補間で与える．参照配置の選択（増分解析の枠組み）に応じて次のように使い分ける．

Total Lagrange 法（基準配置 \(\Omega^e_0\) で積分）：写像とヤコビアンを

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

として，要素内力・剛性行列を

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

と近似する．\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) はすべて積分点 \(\boldsymbol{r}_i\) で評価する．

Updated Lagrange 法（現配置 \(\Omega^e\) で積分）：写像とヤコビアンを

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

として，

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

と近似する．

両定式化の違いは写像入力の節点座標が \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) か \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) かの 1 点のみで，積分点・重み・積分点ループの構造は共通である．

完全積分と次数低減積分

被積分関数の多項式次数を厳密に積分できる積分点数を採用する積分を完全積分，それより一段階少ない積分点数を採用する積分を次数低減積分とよぶ．次数低減積分はせん断・体積ロッキングの緩和に用いられるが，砂時計モードなど偽の変形モードへの対処を伴う．要素種類ごとの積分点数と完全／次数低減の選択は要素番号体系と形状関数ライブラリ以降および高性能要素定式化で扱う．

関連項目