弾塑性¶

本章では，FrontISTR が採用する弾塑性構成則の枠組みを扱う．使い分け・入力指定の詳細は機能編 03_material を参照．

現象（塑性変形）¶

TBD（次フェーズで本文化）．

構成則の枠組み¶

FrontISTR では，関連流れ則に準じる弾塑性構成式を採用している．また，その構成式は Kirchhoff 応力の Jaumann 速度と変形速度テンソルの関係を表し，その変形解析は updated Lagrange 法を適用する．

弾塑性体の降伏条件が次のように与えられるものとする．

初期の降伏条件:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

後続の降伏条件:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

ここで，

\(F\): 降伏関数
\(\sigma_{y_0}\): 初期降伏応力
\(\sigma_y\): 後続の降伏応力
\(\sigma\): 応力テンソル
\(e\): 微小ひずみテンソル
\(e^p\): 塑性ひずみテンソル
\(\overline{e}^p\): 相当塑性ひずみ

降伏応力-相当塑性ひずみ関係が，単軸状態での応力-塑性ひずみ関係に一致するものとする．

単軸状態での応力-塑性ひずみ関係

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

ここで，\(H'\) は歪硬化係数である．

相当応力-相当塑性ひずみ関係

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

後続の降伏関数は一般には温度・塑性ひずみ仕事の関数であるが，ここでは簡単のため相当塑性ひずみ \(\overline{e}^p\) のみの関数であるものとする．塑性変形の進行中は \(F = 0\) が満たされ続けるため，次式が成立しなければならない．

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

ここで \(\dot{F}\) は \(F\) の時間導関数を表しており，以後，ある量 \(A\) の時間導関数を \(\dot{A}\) で表す．

ここで，塑性ポテンシャル \(\Theta\) の存在を仮定し，塑性ひずみ速度を次式で表すものとする．

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

ここで \(\dot{\lambda}\) は係数である．

さらに，塑性ポテンシャル \(\Theta\) が降伏関数 \(F\) に等しいものとして，次式の関連流れ則を仮定する．

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

この式を整合条件式に代入し，下式が得られる．

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

ここで \(D\) は弾性マトリクスであり，

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

弾塑性の応力-ひずみ関係式は以下のように書ける．

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

弾塑性材の降伏関数 \(F\) がわかれば，この式からその構成式が得られる．

降伏関数¶

以下では FrontISTR が採用する弾塑性降伏関数を列挙する．

Von Mises 降伏関数¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

ここで \(J_2\) は偏差応力テンソルの第 2 不変量である．

Mohr-Coulomb 降伏関数¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

ここで \(\sigma_1, \sigma_3\) は最大・最小主応力，\(c\) は粘着力，\(\phi\) は内部摩擦角である．

Drucker-Prager 降伏関数¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

ここでは，材料定数 \(\alpha\) と \(\sigma_y\) は材料の粘着力と摩擦角から以下のように計算する．

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]