内力仮想仕事の離散化¶
増分解析の枠組み で示した時刻 \(t + \Delta t\) の仮想仕事式は，参照配置の選択により Updated Lagrange 法と Total Lagrange 法の 2 種に分かれる．本章では，形状関数と有限要素近似 と 形状関数の空間微分 で導入された有限要素近似を用いて，両定式化の内力仮想仕事を空間離散化し，要素内力ベクトル \(\boldsymbol{q}^e\)（UL 法）および \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL 法）を得る．
要素 \(e\) の構成節点 \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) に対する変位を \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\)，要素節点変位ベクトルを \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) と並べ，仮想変位 \(\delta \boldsymbol{u}^e\) も同じ並びで定義する．要素内変位は形状関数で \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) と補間される．
Updated Lagrange 法の内力仮想仕事¶
Updated Lagrange 法では時刻 \(t\) の現配置 \({}^{t}\Omega\) を参照配置とし，Cauchy 応力 \(\boldsymbol{\sigma}\) と Almansi ひずみ線形部 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) により内力仮想仕事を
と書く．\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) の各成分は形状関数の現配置座標 \(\boldsymbol{x}\) に関する微分 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) と節点仮想変位 \(\delta u^e_{i\alpha}\) の線形結合として表せ，Voigt 表記で
とまとめられる．節点ブロック \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) は \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) を Voigt 規則で配置した \(6 \times 3\) 行列であり，\(\boldsymbol{B}_L\) が UL 法のひずみ・変位関係マトリックスとなる．これを内力仮想仕事に代入し \(\delta \boldsymbol{u}^e\) を分離すると
を得る．\(\boldsymbol{q}^e\) の節点ブロック \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) が要素 \(\Omega^e\) の構成節点 \(\alpha\) に作用する内力である．
Total Lagrange 法の内力仮想仕事¶
Total Lagrange 法では基準配置 \(\Omega_0\) を参照配置とし，第 2 Piola-Kirchhoff 応力 \(\boldsymbol{S}\) と Green-Lagrange ひずみ \(\boldsymbol{E}\) により
と書く．\(\delta \boldsymbol{E}\) は仮想変位に対する線形項と，現変位勾配 \(\partial u_k/\partial X_j\) との積を含む非線形項に分けられる：
線形項は UL 法と同じ並べ方の規則を \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) に適用した節点ブロック \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) により
と書ける（参照配置の違いにより構成要素が \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) から \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) に置き換わるだけで，記号は UL 法と共用する）．非線形項は，現変位勾配 \(\partial u_k/\partial X_j\) と \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) の積を Voigt 規則で配置した節点ブロック \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) により
と書ける．以上より \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) となり，\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) が TL 法のひずみ・変位関係マトリックスである．これを内力仮想仕事に代入すると
を得る．節点ブロック \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) が要素 \(\Omega^e_0\) の構成節点 \(\alpha\) に作用する内力である．
UL/TL の対応関係と計算フロー¶
Updated Lagrange 法と Total Lagrange 法の要素内力ベクトルは次の対応にある．
| 項目 | Updated Lagrange 法 | Total Lagrange 法 |
|---|---|---|
| 参照配置 | 現配置 \({}^{t}\Omega^e\) | 基準配置 \(\Omega^e_0\) |
| 応力テンソル | Cauchy 応力 \(\boldsymbol{\sigma}\) | 第 2 PK 応力 \(\boldsymbol{S}\) |
| ひずみ変分 | \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) | \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\) |
| B 行列 | \(\boldsymbol{B}_L\)（\(\partial N/\partial x\)） | \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)（\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\)） |
| 要素内力 | \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) | \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\) |
両者は「形状関数の空間微分から \(\boldsymbol{B}_L\) を組む」「TL 法では現変位勾配から \(\boldsymbol{B}_{NL}\) を組んで加算する」「応力（\(\boldsymbol{\sigma}\) または \(\boldsymbol{S}\)）を構成則に従って更新する」「積分点で \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) または \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) を要素領域上で数値積分する（数値積分）」という同一の手続きで処理できる．参照配置の切替（節点座標と \(\boldsymbol{B}\) 行列の構成）と応力テンソルの差し替え以外は共通のため，FrontISTR では両法の内力計算が共通のサブルーチンで実装される．要素内力ベクトル \(\boldsymbol{q}^e\)，\(\boldsymbol{Q}^e\) から全体内力ベクトルへのアセンブルは 外力仮想仕事と全体方程式の組立て で扱う．