物理量の記号一覧
本ページは FrontISTR 理論マニュアルで使用する物理量の記号を一覧する．
記法規則（ベクトル・テンソルの太字表記，Einstein 縮約規約，Voigt 表記）については
テンソル記法と数学的基礎 を参照のこと．
配置・座標系
| 記号 |
説明 |
| \(\boldsymbol{X}\) |
物質点の基準配置（初期配置）における位置ベクトル（物質座標） |
| \(\boldsymbol{x}\) |
物質点の現配置における位置ベクトル（空間座標） |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
運動写像：\(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) |
基準配置における物体の占める領域 |
| \(\Omega\) |
現配置における物体の占める領域 |
| \(\Gamma_0\) |
\(\Omega_0\) の境界 |
| \(\Gamma\) |
\(\Omega\) の境界 |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) |
幾何学的（変位）境界：\(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) が規定される現配置・基準配置の境界 |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) |
力学的境界：\(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) （または \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)）が規定される現配置・基準配置の境界 |
| \(\boldsymbol{n}\) |
現配置における面の外向き単位法線ベクトル |
| \(\boldsymbol{N}\) |
基準配置における面の外向き単位法線ベクトル |
| \(t\) |
時刻 |
規約：基準配置の物理量には大文字または添字 \(0\) を，現配置の物理量には小文字を割り当てる．
時刻と増分（増分解析）
| 記号 |
説明 |
| \(\Delta t\) |
時刻増分：\(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) |
時刻 \(t\) における物理量（前置上付き添字）．例：\(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) は時刻 \(t\) における Cauchy 応力 |
| \(^{t}\Omega\) |
時刻 \(t\) における現配置の領域 |
| \(^{t}\Gamma\) |
時刻 \(t\) における現配置の境界 |
規約：増分解析では時刻 \(t\) までの状態を既知，時刻 \(t + \Delta t\) の状態を未知として求める．時刻を明示する必要がない場合は前置上付き添字を省略する．参照配置として基準配置 \(\Omega_0\) を選ぶ定式化を Total Lagrange 法，増分開始時の現配置 \(^{t}\Omega\) を選ぶ定式化を Updated Lagrange 法と呼ぶ．
変位・速度・加速度・物体力
| 記号 |
説明 |
| \(\boldsymbol{u}\) |
変位ベクトル：\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) |
幾何学的境界 \(\Gamma_B\) で規定される変位 |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) |
仮想変位（テスト関数）：\(\Gamma_B\) で \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) |
速度ベクトル：\(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) |
加速度ベクトル：\(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) |
物体力（単位質量あたり） |
| \(\boldsymbol{t}\) |
表面力ベクトル（単位面積あたり）：\(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) |
力学的境界 \(\Gamma_t\) で規定される表面力（Neumann データ） |
微分演算子
| 記号 |
説明 |
| \(\dot{(\cdot)}\) |
物質時間微分（同一物質点を追った時間微分）：\(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) |
基準配置勾配（物質座標 \(\boldsymbol{X}\) に関する勾配）：\(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) |
現配置勾配（空間座標 \(\boldsymbol{x}\) に関する勾配）：\(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) |
対称勾配作用素：\(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
備考：\(\nabla_X\) と \(\nabla_x\) は \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) で関係づけられる．添字なしの \(\nabla\) は文脈で配置を判別するか，微小変形時のように区別が消える場合に用いる．
変形テンソル
| 記号 |
説明 |
| \(\boldsymbol{F}\) |
変形勾配テンソル：\(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) |
体積変化比：\(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) |
右 Cauchy-Green 変形テンソル：\(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) |
左 Cauchy-Green 変形テンソル：\(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) |
速度勾配テンソル：\(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) |
変形速度テンソル（\(\boldsymbol{L}\) の対称部分）：\(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) |
スピンテンソル（\(\boldsymbol{L}\) の反対称部分）：\(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
ひずみテンソル
| 記号 |
説明 |
| \(\boldsymbol{E}\) |
Green-Lagrange ひずみテンソル（基準配置）：\(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) |
Almansi ひずみテンソル（現配置）：\(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) |
Almansi ひずみテンソルの線形部分（現配置の対称変位勾配）：\(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) |
微小ひずみテンソル（線形近似）：\(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
備考：\(\boldsymbol{E}\) は Total Lagrange 法，\(\boldsymbol{D}\) は Updated Lagrange 法でそれぞれ主に使用される．
応力テンソル
| 記号 |
説明 |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) |
Cauchy 応力テンソル（真応力，現配置）：\(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) |
第 1 Piola-Kirchhoff 応力テンソル（公称応力）：\(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) |
第 2 Piola-Kirchhoff 応力テンソル（基準配置，対称）：\(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
各応力テンソルの間の変換関係：
\[
\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad
\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T
\]
規約：Total Lagrange 法では \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)，Updated Lagrange 法では \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) の組を用いる．
密度・質量
| 記号 |
説明 |
| \(\rho\) |
現配置における質量密度 |
| \(\rho_0\) |
基準配置における質量密度 |
質量保存則：\(\rho_0 = J\rho\)．
材料定数（線形弾性体）
| 記号 |
説明 |
| \(E\) |
ヤング率（縦弾性係数） |
| \(\nu\) |
ポアソン比 |
| \(\lambda\) |
ラメの第 1 定数：\(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) |
ラメの第 2 定数（剛性率，横弾性係数）：\(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) |
弾性テンソル（4 階）：\(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)，成分 \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)（または \(\hat{\tilde{C}}\)） |
材料行列（Voigt 表記，3 次元では \(6\times6\)）：\(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
等方線形弾性体の弾性テンソル成分：
\[
C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\]
超弾性材料
| 記号 |
説明 |
| \(W(\boldsymbol{C})\) |
弾性ポテンシャル関数（ひずみエネルギー密度関数） |
| \(I_1, I_2, I_3\) |
右 Cauchy-Green テンソル \(\boldsymbol{C}\) の主不変量 |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) |
\(\boldsymbol{C}\) の低減不変量（体積変化分を分離） |
| \(C_1, C_2\) |
Mooney-Rivlin モデルの材料定数 |
| \(D\) |
体積弾性に関する材料定数 |
弾塑性材料
| 記号 |
説明 |
| \(\boldsymbol{D}^e\) |
変形速度テンソルの弾性成分 |
| \(\boldsymbol{D}^p\) |
変形速度テンソルの塑性成分 |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) |
降伏関数 |
| \(\kappa\) |
塑性状態を表す内部変数（等方硬化変数） |
| \(\lambda^p\) |
塑性乗数（塑性ひずみ速度乗数）：\(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) |
塑性ポテンシャル（関連流れ則では \(\Theta = F\)） |
| \(\bar{\sigma}\) |
相当応力（von Mises 応力など） |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) |
相当塑性ひずみ |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) |
等方硬化関数 |
相補性条件：\(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)，\(\lambda^p \geq 0\)，\(F \leq 0\)．
有限要素法
| 記号 |
説明 |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) |
有限要素分割により近似された現配置・基準配置の領域：\(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) |
要素の現配置・基準配置における領域 |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) |
要素境界のうち力学的境界に属する部分 |
| \(\boldsymbol{r}\) |
自然座標（要素のローカル座標） |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) |
節点 \(\alpha\) に対応する自然座標の点 |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) |
要素 \(e\) の節点 \(\alpha\) に対応する形状関数 |
| \(n_e\) |
要素の構成節点数 |
| \(n_g\) |
全体節点数 |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) |
要素節点 \(\alpha\) の座標・変位 |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) |
要素節点座標・変位ベクトル：\(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) など |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) |
全体節点座標・変位ベクトル（節点番号 → 自由度の順で並べる） |
| \(\boldsymbol{B}\) |
ひずみ・変位関係マトリックス（Bマトリックス） |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) |
形状関数行列：\(\boldsymbol{N}_\alpha\) は節点 \(\alpha\) の形状関数 \(N_\alpha^e\) を対角に並べた \(d \times d\) ブロック，\(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)．\(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) |
要素剛性行列 |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) |
要素剛性行列の被積分項（基準配置・現配置で表記したもの）：\(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL法），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL法） |
要素内力ベクトル |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) |
要素節点 \(\alpha\) に作用する節点外力，および要素節点外力ベクトル：\(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) |
全体内力ベクトル・全体外力ベクトル：\(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)，\(\boldsymbol{F}\) も同様 |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) |
全体節点 \(i_g\) における節点内力・節点外力（\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) の節点ブロック） |
| \(\boldsymbol{K}\) |
全体接線剛性行列：\(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)．\(3\times 3\) ブロック \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) を \(i_g\) 行 \(i_h\) 列に並べた行列 |
| \(\boldsymbol{R}_i\) |
Newton-Raphson 反復における残差ベクトル：\(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) |
Newton-Raphson 反復の修正量（第 \(i\) 反復で線形方程式 \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) を解いて得られる） |
| \(i_g\) |
全体節点番号（\(1 \leq i_g \leq n_g\)） |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) |
要素 \(e\) の要素内節点番号 \(\alpha\) に対応する全体節点番号：\(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) |
全体節点番号 \(i_g\) に対応する \((e, \alpha)\) の組の集合：\(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\)．アセンブル操作で用いる |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) |
全体節点番号対 \((i_g, i_h)\) に対応する \((e, \alpha, \beta)\) の組の集合：剛性行列のアセンブルで用いる |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) |
要素構成節点に関する添字 |
| \(i, j, k, l, \ldots\) |
自由度に関する添字（3次元では \(1, 2, 3\)） |
高性能要素・構造要素
| 記号 |
説明 |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) |
B-bar 法における体積部修正済みのひずみ・変位関係マトリックス（要素中心で評価した B 行列で体積成分を置換） |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) |
F-bar 法における体積部修正済みの変形勾配：\(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) |
要素中心 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) で評価した変形勾配の体積比：\(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) |
非適合モード要素における内部自由度ベクトル（要素境界で連続性を保証しない追加変位モードの係数） |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) |
非適合モードの形状関数：\(M_1=1-\xi^2\)，\(M_2=1-\eta^2\)，\(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) |
シェル要素の板厚 |
| \(A\) |
梁要素断面の断面積 |
| \(I\) |
梁要素断面の断面 2 次モーメント |
| \(G\) |
剪断弾性係数：\(G = E/[2(1+\nu)]\) |
関連項目