仮想仕事の原理¶

応力と保存則で導いた平衡方程式と境界条件をもとに，連続体力学の境界値問題の弱形式である仮想仕事の原理を導く．有限要素法による離散化はこの弱形式を出発点とする．本章では現配置（Cauchy 応力と Almansi ひずみ線形部による表現）と基準配置（第 2 Piola-Kirchhoff 応力と Green-Lagrange ひずみによる表現）の両形式を提示し，両者が等価であることを示したのち，微小変形への帰着を確認する．

平衡方程式と境界条件¶

連続体に作用する物体力（単位質量あたり）を \(\boldsymbol{g}\) とし，現配置で領域 \(\Omega\) を占める物体を考える．境界 \(\Gamma\) は，変位が \(\bar{\boldsymbol{u}}\) に規定される幾何学的境界 \(\Gamma_B\) と，表面力が \(\bar{\boldsymbol{t}}\) に規定される力学的境界 \(\Gamma_t\) に分割され，\(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\)，\(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) とする．静的問題では応力と保存則で示した運動量保存則の慣性項を落とした

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

を平衡方程式とする．境界条件は

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]

\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

で与えられる．以降は仮想仕事の原理を平衡方程式と力学的境界条件 \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) の弱形式として導出する．幾何学的境界条件 \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) はテスト関数の選択により取り込まれる．

現配置表現の弱形式¶

弱形式では，未知変位の許容空間とテスト関数空間をそれぞれ

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

とする．ここで \(d\) は空間次元，\(H^1(\Omega)\) は 1 階弱微分まで二乗可積分である Sobolev 空間，\(\delta\) は変分記号である．現配置表現では \(\Omega\) は変形後の配置であり，実際の数値解法では基準配置または既知の中間配置へ引き戻して扱う．

平衡方程式に重み \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) をかけ，Gauss の発散定理と力学的境界条件を適用すると，現配置における仮想仕事の原理は次式となる．

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ここで \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) は Almansi ひずみテンソルの線形部分であり，

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

で定義される．その変分は \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) である．すなわち，\(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) を求め，任意の \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) に対して仮想仕事式を満たすことを要求する．左辺は内力仮想仕事，右辺は規定表面力と物体力による外力仮想仕事である．

本式は変形後（現配置）の領域で記述されているため，実際の解法では，初期配置 \(\Omega_0\)（基準配置）または既知の中間配置を参照配置として選び直し，増分形に書き換えてから解く．参照配置の具体的選択（Total Lagrange / Updated Lagrange）と増分分解は増分解析の枠組みを参照．

初期配置表現の弱形式¶

基準配置で領域 \(\Omega_0\) を占める物体を考え，その境界 \(\Gamma_0\) を \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) に分割する．現配置表現を基準配置へ引き戻すと，応力・ひずみの共役対は第 2 Piola-Kirchhoff 応力 \(\boldsymbol{S}\) と Green-Lagrange ひずみ \(\boldsymbol{E}\) になる．このとき初期配置における仮想仕事の原理は

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

と書ける．ここで \(\rho_0\) は基準配置の質量密度であり，質量保存則 \(\rho_0 = J\rho\) により現配置の体積力表現と等価である．

現配置表現と初期配置表現の等価性¶

両表現の内力仮想仕事は，変形勾配 \(\boldsymbol{F}\) と体積比 \(J = \det \boldsymbol{F}\) による変換を通じて一致する．すなわち，

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

である．外力項も質量保存則と表面力の換算により等価である．したがって現配置の仮想仕事式と初期配置の仮想仕事式は，同一の原理を異なる配置で表したものである．基準配置を参照する解法は Total Lagrange 法に，現配置（直前の収束配置）を参照する解法は Updated Lagrange 法に対応する．

微小変形への帰着¶

微小変形仮定 \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\)，\(J \approx 1\) のもとでは現配置と基準配置の区別が消え，第 2 PK 応力は Cauchy 応力に一致し（\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)），Green-Lagrange ひずみおよび Almansi ひずみ線形部はともに微小ひずみ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) に帰着する．

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

このとき仮想仕事の原理は Cauchy 応力 \(\boldsymbol{\sigma}\) と微小ひずみ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) による弱形式

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

に帰着する．これは微小変形・線形弾性静解析で離散化に直接用いる弱形式である（線形弾性静解析（入門・付録）ではこの形式を出発点として要素剛性 \(\boldsymbol{K}^e\) の構成・全体方程式 \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) の組立てまでを示す）．

線形弾性構成則 \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) を代入し，Voigt 表記で \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) と書くと，弱形式は

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

の形となる．